Spin 3232\frac{3}{2} representación en el libro de Georgi?

Question

Spin 3232\frac{3}{2} representación en el libro de Georgi?

Física
mentira-álgebra
giro cuántico
momento angular
libro de texto-errata
mecánica cuántica

usuario12029

El libro de Georgi Lie Algebras in Particle Physics 2ed ecuación 3.32 enumera los operadores de espín en el espín $\frac{3}{2}$ representación como:

j_{1} = (\begin{array}{cccc} 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} \\ 0 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \end{array})

$J_1=\left( \begin{array}{cccc} 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} \\ 0 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \\ \end{array} \right)$

j_{2} = (\begin{array}{cccc} 0 & - i \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ i \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & - i 2 & 0 \\ 0 & i 2 & 0 & - i \sqrt{\frac{3}{2}} \\ 0 & 0 & i \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \end{array})

$J_2=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -i\sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ i\sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & -i2 & 0 \\ 0 & i2 & 0 & -i\sqrt{\frac{3}{2}} \\ 0 & 0 & i\sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \\ \end{array} \right)$

j_{3} = (\begin{array}{cccc} \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{3}{2} \end{array})

$J_3=\left( \begin{array}{cccc} \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} \\ \end{array} \right)$

pero los conmutadores no parecen funcionar $[J_1,J_2]\neq i J_3$ . ¿Lo que da?

Escribí el siguiente comando de Mathematica j[n,s] para generar la matriz n=1,2 o 3 spin s. Genera las matrices de Pauli y el espín. $1$ matrices correctamente, pero no coincide con el $3/2$ representante en el libro de Georgi.

j[3,s_/;IntegerQ[2s+1]&&s>0]:=SparseArray[Band[{1,1}]->Table[i,{i,s,-s,-1}],2s+1];
jplus[s_/;IntegerQ[2s+1]]:=SparseArray[Band[{1,2}]->Table[Sqrt[(s+1+m)(s-m)/2],{m,s-1,-s,-1}],2s+1];
jminus[s_/;IntegerQ[2s+1]]:=SparseArray[Band[{2,1}]->Table[Sqrt[(s+m)(s-m+1)/2],{m,s,1-s,-1}],2s+1];
j[1,s_/;IntegerQ[2s+1]]:=(jplus[s]+jminus[s])/Sqrt[2];
j[2,s_/;IntegerQ[2s+1]]:=(jplus[s]-jminus[s])/(I Sqrt[2]);

Respuestas (1)

Spin 3232\frac{3}{2} representación en el libro de Georgi?

usuario12029 · Answer 1

Hay un error tipográfico en la ecuación del libro, y no parece haber una fe de erratas en línea de fácil acceso. Si se siguen las fórmulas que da el libro para $J_\pm$ :

j_{+} = \frac{1}{\sqrt{2}} (j_{1} + i j_{2})

$J_+=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(J_1+i J_2\right)$

j_{-} = \frac{1}{\sqrt{2}} (j_{1} - i j_{2})

$J_-=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(J_1-i J_2\right)$

j_{-, {metro}^{'} metro} \frac{\sqrt{(s - metro) (metro + s + 1)} d_{metro + 1, {metro}^{'}}}{\sqrt{2}}

$J_{-,m'm}\frac{\sqrt{\left(s-m\right) \left(m+s+1\right)} \delta _{m+1,m'}}{\sqrt{2}}$

j_{+, {metro}^{'} metro} \frac{\sqrt{(s + metro) (s - metro + 1)} d_{metro - 1, {metro}^{'}}}{\sqrt{2}}

$J_{+,m'm}\frac{\sqrt{\left(s+m\right) \left(s-m+1\right)} \delta _{m-1,m'}}{\sqrt{2}}$

uno encuentra:

j_{1} = (\begin{array}{cccc} 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{array})

$J_1=\left( \begin{array}{cccc} 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \end{array} \right)$

j_{2} = (\begin{array}{cccc} 0 & - \frac{1}{2} (i \sqrt{3}) & 0 & 0 \\ \frac{i \sqrt{3}}{2} & 0 & - i & 0 \\ 0 & i & 0 & - \frac{1}{2} (i \sqrt{3}) \\ 0 & 0 & \frac{i \sqrt{3}}{2} & 0 \end{array})

$J_2=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -\frac{1}{2} \left(i \sqrt{3}\right) & 0 & 0 \\ \frac{i \sqrt{3}}{2} & 0 & -i & 0 \\ 0 & i & 0 & -\frac{1}{2} \left(i \sqrt{3}\right) \\ 0 & 0 & \frac{i \sqrt{3}}{2} & 0 \\ \end{array} \right)$

j_{3} = (\begin{array}{cccc} \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{3}{2} \end{array})

$J_3=\left( \begin{array}{cccc} \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} \\ \end{array} \right)$

Spin 3232\frac{3}{2} representación en el libro de Georgi?

usuario12029

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usuario12029

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