En la mecánica cuántica (QM), ¿podemos definir un momento angular de "giro" de mayor dimensión que no sea el 3D ordinario?

Creo que puedes, si tratas de seguir el camino de encontrar representaciones de la$SO(n)$grupo sobre un espacio de Hilbert dado.

Realmente no he hecho el cálculo, pero si es lo mismo, te quedaría algo como esto:

$H=L_2(\mathbb R^n,\mathbb C)$sería el Espacio de Hilbert que correspondería a las partículas de espín 0, y la representación del$SO(n)$grupo estaría dado por:

$\Phi: SO(n) \times H \rightarrow H$, con$(\Phi(g)\psi)(x)=\psi(g^{-1}x)$

Los generadores de este grupo de simetría corresponderían a los operadores de momento angular. En este caso, dado que no hay una 'Estructura interna', esto sería solo el momento angular orbital.

En cuanto a las partículas con espín:

La idea es la misma, con una diferencia crítica, el Espacio Hilbert en el que está trabajando. tu cambiarias$H=L_2(\mathbb R^n,\mathbb C)$para incluir grados de libertad adicionales, y la forma más directa es tomar el producto tensorial con otro Espacio de Hilbert. No sé por quién, pero la siguiente elección termina conduciendo a la famosa 'Ecuación de Pauli' (Ecuación de Schrödinger con spin 1/2):$H=L_2(\mathbb R^n,\mathbb C^2) = L_2(\mathbb R^n,\mathbb C)\times L_2(\mathbb R^n,\mathbb C)$

En principio no sabes si es posible encontrar una buena representación del grupo SO(n) en el espacio de Hilbert antes mencionado, entonces, para poder trabajar, intentas$H=L_2(\mathbb R^n,\mathbb C^k)$

Entonces, nuevamente, buscando representaciones del grupo de simetría, terminaría con la siguiente posibilidad:

$\Phi:H\times SO(n) \rightarrow H$dada por$(\Phi(g)\psi)(x ) = \pi_k(g)\psi(g^{-1}x)$

eran$\pi_k: SO(n)\times \mathbb C^k \rightarrow \mathbb C^k$es una representación de la$SO(n)$grupo sobre la dimensión finita$\mathbb C^k$. Al menos uno k es un trabajo garantizado, que es$k=n$, los otros no estoy seguro, en el caso de$SO(3)$, tiene una representación para cada k impar (giro entero), pero es posible encontrar una representación del grupo de cobertura$SU(2)$para todo k.

Este tema me parece muy interesante, aunque no he tenido tiempo de entrenar los cálculos. Desafortunadamente, mi conocimiento del tema termina aquí, por lo que alguien más tendrá que ayudarlo con los cálculos reales.

Si lo tiene a mano, puede leer la discusión de Ballentine sobre el momento angular. Creo que fue muy esclarecedor cuando lo estaba leyendo, ya que discute este aspecto de necesitar un espacio de simetría interna (el$\mathbb C^k$arriba) y también resuelve explícitamente los casos de espín 1/2 y 1, además de discutir también el caso de espín 3/2.

Editar:

Una cosa que olvidé mencionar es sobre el álgebra (generadores) de la$SO(n)$grupo,$\mathfrak{so}(n)$de$n \times n$matrices reales antisimétricas. Entonces, la idea de etiquetar los generadores por$\Sigma_{ij}$con un índice antisimétrico como el que hiciste anteriormente, probablemente sea la forma correcta de hacerlo.

También las relaciones de conmutación estarían dadas por el$\mathfrak{so}(n)$relaciones de conmutación, que no sé de memoria, y no estoy seguro de que sea exactamente lo que escribiste anteriormente. Aquí algo que he encontrado en la web en el$\mathfrak{so}(n)$ álgebras _

Continuación:

Entonces, como señaló Peter Kravchuk, la idea física detrás de todo este razonamiento es la idea de la ley de transformación. Entonces, en física, la idea de transformación es capturada por la idea de grupo , que es un conjunto con algún tipo de operación de composición que hace posible la discusión de cosas como 'realizar una transformación tras otra' o 'realizar la transformación inversa'.

La mayoría de las veces, no solo desea tener una idea de la composición y la inversa de las transformaciones, sino que también desea tener una cierta sensación de continuidad y/o suavidad. Los grupos que son suaves, por lo que son 'diferenciables', se denominan Grupos de Lie

La mayoría de las veces, no estás interesado en los grupos en sí mismos sino en el 'efecto' que tienen cuando actúan sobre algún tipo de objeto físico. Si tienes un conjunto de objetos físicos$X$, lo que quiere hacer es encontrar algún tipo de función que cambie estos objetos, pero aún así cree objetos físicos válidos del mismo tipo, es decir, alguna función$F: G\times X \rightarrow X$. Esta idea es el concepto de acción grupal .

Muchas veces, los objetos de interés físico se modelan como vectores , en otras palabras, cosas que tienen sentido que 'sumas' y 'multiplicas por un escalar'. Puedes pensar en las posiciones, velocidades y/o momento de las partículas.

Además, también hay objetos que define punto a punto en su espacio, cosas como potencial gravitacional, campos eléctricos y funciones de onda. Todos estos objetos están descritos por campos, es decir, en cierto sentido, funciones$E \rightarrow X$, dónde$E$es su 'espacio físico', es decir, su espacio-tiempo, que generalmente es euclidiano o minkowskiano.

Finalmente, la idea de representación (lineal) de grupos es buscar leyes de transformación sobre objetos que son ellos mismos vectores. Entonces, comencemos con un ejemplo. Tienes el espacio 3D euclídeo,$E=\mathbb R^3$, y desea estudiar rotaciones, es decir, transformaciones que conservan la métrica 3D habitual:$<x,y> = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$

En otras palabras, quieres funciones$A:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3$de modo que$<Ax,Ay>=<x,y>$para todos$x,y\in\mathbb R^3$. Puedes probar que todas las funciones de este tipo son funciones lineales , y también que forman un grupo (¡y también un grupo de mentira!), en el sentido mencionado anteriormente. se llama grupo ortogonal$O(3)$. La mayoría de las veces también queremos preservar la orientación , por lo que también exigimos que satisfagan$\det(A)=1$. Este subconjunto también forma un grupo, que es exactamente el$SO(3)$, las rotaciones (adecuadas) en el espacio euclidiano 3D.

Si tiene una acción de grupo que respeta las operaciones lineales,$\Phi(A)(\alpha x+y) = \alpha(\Phi(A)x)+(\Phi(A)y)$para todos$x,y\in X$,$A\in G$y$\alpha \in \mathbb F$(piensa en números reales y complejos) llamas a esta acción una representación . Es posible tener objetos con 'leyes de transformación mixtas', y normalmente no quieres que eso suceda, por lo que normalmente buscas objetos con una 'ley de transformación definida', y esto es lo mismo que hablar de representaciones irreducibles de tu grupo. De ahora en adelante usaré el término representación como sinónimo de representación irreductible, hasta que se indique lo contrario.

Otra forma de ver las representaciones es pensar$\Phi: G \rightarrow GL(X)$, dónde$GL(X)$es el grupo de todas las transformaciones lineales invertibles (matrices) sobre X. De esta manera buscas algo que respete$\Phi(g_1g_2)= \Phi(g_1)\Phi(g_2)$. Entonces, de esa manera, puede pensar en buscar 'copias' del grupo original sobre el grupo de operadores invertibles en el espacio de interés.

Ahora empezamos a divertirnos. Si tiene este grupo de simetría en el espacio de posiciones, querrá preguntar qué sucede con el impulso cuando rota las posiciones. Dado que el conjunto de impulsos (velocidades si lo desea) también es$\mathbb R^3$, no tienes ningún problema para configurar$\vec p' = A\vec p$.

Entonces, solo para precisar lo que estamos haciendo: tenemos el espacio de posición física:$E = \mathbb R^3$, y tenemos un grupo$G=SO(3)$que actúa sobre$E$, es decir,$\Phi: G\times E \rightarrow E$por la 'acción trivial'$\Phi(A)\vec x = A\vec x$

Ahora, tenemos el espacio de impulso (conjunto de todos los impulsos posibles)$P$que también es igual a$\mathbb R^3$, por lo tanto, no tenemos ningún problema en tener las mismas 'leyes de transformación' que las posiciones originales, es decir, establecer la representación$\Phi_p : G \times P \rightarrow P$igual al trivial anterior. Esto es equivalente a decir$\vec p' = \Phi_p(A)\vec p = A\vec p$.

Ahora, podemos preguntar qué sucede cuando tiene campos definidos en el espacio físico, es decir, funciones 'suaves' (o casi) de algún tipo:$\mathcal F=\{f|f:E\rightarrow X\}$. De todos modos, puede preguntarse cómo se transforman estos campos cuando tiene un 'cambio de coordenadas' inducido por la acción de$SO(3)$sobre el espacio físico. Lo que suele pasar es que pones$\Phi_\mathcal F : G \times \mathcal F \rightarrow \mathcal F$poniendo$(\Phi_\mathcal F(A) f)(x) = \Phi_X(A)f(A^{-1}x)$dónde$\Phi_X$es una acción de G sobre X. Si X es un espacio vectorial, también puedes intentar encontrar$\Phi_X$como representación.

Así que la idea es que primero cambies las coordenadas y luego actúes sobre el objeto que resulta de ello. Lo contrario dentro del argumento es la idea de rotación activa x pasiva: puedes pensar que rotas activamente todo el universo en una dirección o rotas tus coordenadas al revés. En última instancia, no utiliza la representación trivial de$SO(3)$dentro de las coordenadas, sino la representación inversa.

Si tiene un campo escalar, por ejemplo, un potencial eléctrico (que es una función$\phi:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R$), no espera que cambie su 'valor' cuando rota sus coordenadas, pero sí espera cambiar su argumento. Entonces, por estas consideraciones físicas, puede esperar que$\phi$cambia como un 'campo escalar', es decir,$\phi'(x ) = \phi(A^{-1}x)$.

Ahora, imagina que tienes un campo eléctrico (estático)$\vec E : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3$. Ahora esperamos que si gira, no solo cambien sus argumentos, sino que también tenga algún 'efecto directo' en el 'campo vectorial en sí'. Desde$\vec E(\vec x) \in \mathbb R^3$, puede usar las mismas 'leyes de transformación' (representaciones) que usa para las posiciones o los argumentos de las funciones para actuar sobre el campo eléctrico. Al final, terminas con la 'ley de transformación para campos vectoriales':$(\Phi_v(A)\vec E)(\vec x) = A(\vec E(A^{-1}\vec x))$

Lees la ecuación anterior de esta manera: "Para transformar un campo eléctrico bajo una rotación, primero obtienes tu posición, la transformas inversamente para que puedas calcular el argumento correcto, luego evalúas el campo eléctrico en ese punto y luego rotas el campo eléctrico". campo de la misma manera que rotaría las posiciones normales (vectores)"

Ahora tienes casi toda la información necesaria que necesitas. Ahora, recuerda que las funciones de onda son campos escalares complejos definidos sobre tu espacio físico, con la propiedad adicional de que son 'integrables al cuadrado' (tienen una norma finita). Expresas que al decir que las funciones de onda son miembros de un conjunto$\{\psi:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb C | \int_{\mathbb R^3}\psi^*(x)\psi(x) d^3 x < \infty \}$que se denota por$L_2(\mathbb R^3,\mathbb C)$de (Lebesgue) funciones complejas integrables al cuadrado.

Ahora, quieres preguntar cuáles serían las posibles transformaciones de las funciones de onda. Como tiene que son funciones escalares, espera que se transformen como campos escalares:$(\Phi(A)\psi)(x) = \psi(A^{-1}x)$

Ahora, las cosas se ponen realmente interesantes cuando intentas construir una 'función de onda de múltiples componentes', que representaría los 'grados de libertad internos' de tus partículas. Para lograr eso, cambias de$L_2(\mathbb R^3,\mathbb C)$a$L_2(\mathbb R^3,\mathbb C^k)$para tener un 'espacio interno'$\mathbb C^k$

Entonces, regresas de nuevo y preguntas: '¿cómo se transforman estas cosas?', o pensando de otra manera, '¿cuáles son las formas posibles de que estas cosas se transformen?', ya que no estás obligado a establecer$k=3$, y si lo piensas bien, estás viviendo de$\mathbb C^k$no$\mathbb R^k$!

Dado que ya tiene manejado el 'cambio de coordenadas' (es decir, tiene lo que se convertirá en la 'parte orbital' del momento angular), debe preguntarse qué sucede con el espacio interno.

Entonces, desea encontrar todas las 'leyes de transformación' (es decir, representaciones) de objetos de$\mathbb C^k$. En otras palabras, desea encontrar todas las representaciones de$SO(3)$en$\mathbb C^k$. Esta suele ser una tarea (muy) difícil, por lo que, normalmente, no la aborda directamente de esa manera, pero, al final, descubre que solo tendría representaciones (honestas) para$k = 2l+1$, con$l\in \mathbb Z$, que interpretaría como 'representación de espín entero' (¡aunque no hemos dicho la palabra espín hasta ahora!).

Entonces, ¿cómo encontramos representaciones de la$SO(3)$¿grupo? El método estándar es observar las 'transformaciones infinitesimales' del grupo cerca del origen (de manera más precisa, el espacio tangente en la identidad del grupo). Estas transformaciones infinitesimales forman un espacio vectorial, con una operación adicional llamada paréntesis (de mentira), que es de alguna manera un 'producto'. Dado que los espacios vectoriales dotados de productos se denominan álgebras, estas estructuras se denominan álgebras de mentira .

Un paréntesis de mentiras actúa exactamente como un conmutador (esto puede hacerse preciso ), y en el caso de álgebras de mentiras matriciales (como el álgebra de mentiras de$SO(3)$), es exactamente el conmutador del producto de matriz habitual. De esta forma se puede hablar de 'relaciones de conmutación' de los elementos del Lie Algebra.

Al igual que en el caso de los grupos de mentiras, se puede hablar de Representaciones de álgebras de mentiras , solo que en lugar de conservar la operación de composición de grupos, conserva la operación de corchete de mentiras.

Por lo general, es más sencillo encontrar representaciones del álgebra de mentiras que encontrar representaciones para el grupo de mentiras original, ya que en el primero 'solo' necesita encontrar operadores que puedan actuar como generadores de la imagen de la representación, y si tienen las mismas 'relaciones de conmutación' como base para el álgebra de mentira original, todo lo que tiene que hacer es definir la correspondencia y extender por linealidad.

Entonces, ¿cómo recuperamos la información sobre el grupo original basándonos en su álgebra de mentiras?

La idea es que puedas construir (bajo ciertas condiciones) representaciones para el grupo de mentiras basadas en las representaciones del álgebra de mentiras. Esto se hace 'exponenciando' (esa idea de poner$U(\vec\theta)=e^{-\frac{i}{\hbar}\vec \theta \cdot \vec J}$) los elementos del álgebra de mentira para formar un elemento del grupo. En una configuración general, esto solo es válido localmente.

Si intenta buscar representaciones del grupo de mentiras de$SO(3)$(denotado$\mathfrak{so}(3)$), que es exactamente el álgebra de$3\times 3$matrices antisimétricas, encontrará que tiene representaciones en todas$\mathbb C^k$.

Desafortunadamente (o no), también encuentra que no puede recuperar una representación similar para$SO(3)$incluso para k. Esto está relacionado con la 'doble valuación' de las representaciones para incluso k. Este es el 'factor extra -1' que gana el espín semientero con un$2\pi$rotación, y también la 'necesidad' de una$4\pi$rotación para volver completamente al origen (identidad).

Lo que terminas haciendo es buscar las representaciones del grupo que en realidad se genera al exponenciar el álgebra de mentiras, que en el caso de$SO(3)$es$SU(2)$. Dado que localmente los dos son 'esencialmente lo mismo' y para cada elemento de$SO(3)$hay 2 elementos de$SU(2)$, este último se llama la doble cubierta de la primera. Incluso k, estas son las 'representaciones espinoriales'

Finalmente, prueba que hay toda una representación de$SU(2)$sobre cualquier$\mathbb C^k$, por lo que puede acomodar giros enteros y semienteros usando$SU(2)$como su grupo de 'rotación de actores'. Puede hacer esto porque puede recuperar las rotaciones en el 'espacio físico' euclidiano usándolo.

Para recuperar la idea de espín, es necesario tener una forma de 'medir' el espín total de la partícula en cuestión, lo cual se hace a través de$S_x^2+S_y^2 + S_z^2 = S^2$. Entonces, ¿cómo interpretar este objeto?

La idea es que es lo que se llama el ' casimir invariante ' del grupo, y lo usas para clasificar todas las representaciones (irreducibles) de tu álgebra y, por lo tanto, de tu grupo original. De esa manera, tiene casi toda la 'teoría del giro 3D' construida aquí.

Entonces, desde aquí, puedes entender mi sugerencia original: si deseas buscar un giro de mayor dimensión, comienza con un espacio de posición de mayor dimensión.$E=\mathbb R^n$, y repetir las mismas preguntas que he desarrollado aquí:

1) el producto interior euclidiano habitual es$<x,y>= \sum_{i=1}^n x_iy_i$, y así los grupos que lo preservan y también preservan la orientación ($\det A=1$) se llama$SO(n)$

2) el espacio de funciones de onda de k-componentes es$H=L_2(\mathbb R^n,\mathbb C^k)$y tratas de buscar representaciones de$SO(n)$sobre h

3) el grupo de cobertura de$SO(n)$se llama grupo de spin Spin(n)

Creo que es posible encontrar representaciones irreducibles del Spin(n) para todo k, pero lo confirmaré más adelante. Siendo posible, hace posible una interpretación similar a la del giro 3D habitual. Como alguien mencionó aquí o en otro tema, existe el Libro de Cartan como una buena referencia sobre el tema. El resto está en mi respuesta original.

En primer lugar, quiero comentar que, al menos en el caso 3D, la afirmación que imponemos a algunos operadores de desplazamiento tipo impulso$S_i$la relación$S_x^2+S_y^2+S_z^2=S(S+1)I$es más o menos tautológico, ya que en general se sigue de las relaciones de conmutación que el RHS se puede convertir (mediante un cambio de base) en forma de bloque-diagonal, donde cada bloque tiene exactamente la forma que desea.

En el caso 3D, su requisito casi significa la irreductibilidad de la representación de$SO(3)$para cual$S_i$son los generadores (sin embargo, todavía puedo considerar la representación reducible$3\oplus3$, dónde$2$es la representación vectorial habitual de espín 1 tridimensional, para la cual su ecuación con la suma de cuadrados aún se mantiene). En dimensiones superiores, creo que no tiene buena interpretación matemática. Dice que fijas el valor del casimiro cuadrático, pero hay otros casimiros, por lo que parece que incluso puedes mezclar diferentes representaciones irreducibles en una reducible. Sin embargo, aquí no estoy seguro, por lo que uno podría querer corregirme.

Sin embargo, usted está preguntando acerca de encontrar un conjunto de operadores con relaciones de conmutación las de$so(n)$que admiten una determinada ecuación. Esta ecuación básicamente está fijando el valor del llamado casimiro cuadrático. Por lo tanto, debido a las buenas propiedades de$so(n)$(simplicidad, etc.), creo que la respuesta es: encuentre todas las repeticiones irreducibles de$so(n)$y elige una suma directa de repeticiones con el mismo valor del casimir cuadrático .

Sin embargo, todo esto fue más o menos sobre tu ecuación.$S_x^2+S_y^2+S_z^2=S(S+1)I$y sus generalizaciones. De hecho, no sé si su lhs generalizado conmuta con todos los generadores, pero esto es probable (si no es así, entonces, en la medida en que rhs es identidad propia, esto no tiene sentido y tiene que pensar qué es el casimiro en su base).

Ahora, con respecto al núcleo de la pregunta: la noción física de giro en dimensiones superiores. El giro y, de manera más general, el momento angular total es, en cierto sentido, la regla que le dice cómo transformar la función de onda bajo rotaciones. Básicamente, surge porque necesitas saber cómo transformar la función de onda. Entonces, en general, nuevamente se lo lleva a la consideración de repeticiones irreducibles del grupo de rotación.$SO(N)$.

$SO(N)$tiene una gran cantidad de representaciones, pero para el spin-$1/2$normalmente se elige el álgebra de Clifford$Cl(N)$y construye la representación de Dirac (que en cierto sentido es fundamental para Spin(N)).$Cl(N)$está dada por un conjunto de generadores$\gamma_i$que obedecen a la relación:

$$\{\gamma_i,\gamma_j\}=2\delta_{ij}$$ entonces los generadores de rotaciones son (debes agregar $i$para obtener los operadores de espín hermitianos): $$\Sigma_{ij}=\frac{[\gamma_i,\gamma_j]}{4}$$ Por ejemplo, en 3D puede elegir $\gamma_i=\sigma_i$las matrices de Pauli. En 4D son bien conocidas las matrices de Dirac habituales. En general, para $N=2k+1$hay una representación de $Cl(N)$por $2^k\times2^k$matrices.