¿Cómo usar los coeficientes de Clebsch-Gordan para 3 partículas?

Los coeficientes de Clebsch-Gordan le permiten tratar n espines (o, en general, cualquier n partículas con un momento angular arbitrario) como un solo sistema compuesto. Los coeficientes son simplemente el elemento de matriz de la transformación de la base de un sistema separado a un sistema compuesto.

Para 2 partículas con valores propios de momento angular total$l_1,l_2$, tal que por ejemplo$m_1=-l_1,-l_1+1,...,+l_1$el sistema compuesto es -

2 medias partículas de espín se reducen a -

el tamaño de la izquierda describe 2 partículas, cada una tiene un giro de 1/2, y puede describir la configuración del sistema sany mediante la combinación de esos giros:

el lado derecho describe el sistema como un sistema compuesto, que puede describirse por su momento angular total y su$z$componente -

Como dije, los coeficientes de Clebsch-Gordan son los elementos básicos de la matriz de transformación, por ejemplo, uno de ellos es:

La forma de agregar 3 giros es primero agregar 2 de ellos y luego agregar el tercero al sistema compuesto:

(Observe la primera adición. La última es "condicional" - si S1+S2=1 entonces... si S1+S2=0 entonces)

por lo que la nueva base, en orden de$|S_{tot},S_{1+2},m_{tot}\rangle$es

$|\frac{3}{2},1,-\frac{3}{2}\rangle,|\frac{3}{2},1,-\frac{1}{2}\rangle,|\frac{3}{2},1,\frac{1}{2}\rangle,|\frac{3}{2},1,\frac{3}{2}\rangle,|\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\rangle,|\frac{1}{2},1,-\frac{1}{2}\rangle,|\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}\rangle,|\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\rangle$

esto es suficiente para la mayoría de las aplicaciones (encontrar espectro de energía y demás)

Tenga en cuenta que el orden en que realiza los acoplamientos es importante, en el sentido de que$(j_1\otimes j_2)\to j_{12}$seguido por$j_{12}\otimes j_3\to J$, generalmente escrito como$(j_1j_2)j_{12}j_3 J$, no producirá los mismos estados básicos que el acoplamiento$j_2\otimes j_3\to j_{23}$primero, y luego el acoplamiento$j_1\otimes j_{23}\to J$, o$j_1(j_2j_3)j_{23}J$. Los dos conjuntos de estados de base están relacionados por una transformación unitaria que se utiliza para definir los coeficientes de Racah como superposiciones entre las dos bases.