Encuentra el ángulo dentro de un triángulo en términos de dos variables: α,βα,β\alpha,\beta

En la figura adjunta (abajo)

CZ es perpendicular a XY y la razón de AZ a ZB es$1 : 2$. El ángulo$ACX$es$\alpha$y el ángulo$BCY$es$\beta$. Encuentre una expresión para el ángulo$AZC$en términos de$\alpha$y$\beta$.

Usando la regla del seno (en mi opinión, que se puede usar aquí):

$\dfrac{AZ}{sin(90^{\circ}-\alpha)}=\dfrac{ZC}{sin\angle{ACB}}=\dfrac{AC}{sin\angle{AZC}}$.........(1)

$\dfrac{BZ}{sin(90^{\circ}-\beta)}=\dfrac{ZC}{sin\angle{ABC}}=\dfrac{BC}{sin({\pi-AZC})=sin\angle{AZC}}$..........(2)

Ahora$\dfrac{AZ}{ZB}=\dfrac{1}{2}$(Dado)

$\dfrac{\dfrac{AZ}{ZC}}{\dfrac{ZB}{ZC}}=\dfrac{1}{2}$........(3)

Usando$(1),(2) \space and \space (3)$, obtenemos,

$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{sin\angle{ABC}}{sin\angle{CAB}}$=$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{cos\beta}{cos\alpha}$

De nuevo$\angle{CAB}+\angle{ABC}=\alpha+\beta$(por observación cuidadosa)

Nuevamente usando la regla del coseno en$\Delta{ACZ}$, obtenemos

$\sqrt{AC^2+ZC^2-2AC\cdot ZC \cdot sin \alpha}= AZ$

Poner el valor de AZ arriba en$(1)$, obtenemos,

$\dfrac{\sqrt{AC^2+ZC^2-2AC\cdot ZC \cdot sin \alpha}}{cos\alpha}=\dfrac{AC}{sin\angle{AZC}}$

Pero aquí estoy atascado porque creo que me voy a otro lado. Por favor, dame alguna sugerencia, idea o directamente, la respuesta (si realmente lo haces, estaré agradecido)

La probable solución es la siguiente: