Matrices con filas de un espacio vectorial arbitrario (y matrices de multiplicación por números)

Las matrices están formadas por elementos de algún campo. Sin embargo, si tenemos una matriz$A\in M_{m,n}(F)$, a veces es útil mirar cada fila como un vector de$F^n$, es decir, podemos ver la matriz como

A veces puede ser útil hacer lo mismo con vectores de un espacio vectorial arbitrario$V$sobre un campo$F$. Es decir, podemos usar la notación

Esta es solo una notación diferente para ordenado$n$-tupla de vectores. Pero al menos en algunos aspectos son similares a las matrices. Por ejemplo, podemos multiplicar dicha matriz por$A\in M_{k,m}(F)$ desde la izquierda para llegar

También podemos sumar estas matrices y multiplicarlas por un escalar. Con estas definiciones, aún se mantienen varias propiedades de la multiplicación habitual de matrices, para los productos que están permitidos. Por ejemplo, la asociatividad$A(B\mathbf{C})=A(B\mathbf{C})$o distributividad - ambos$(A+B)\mathbf{C}$y$A(\mathbf{C}+\mathbf{D})$.

Además, algunas propiedades que son válidas para el rango siguen siendo válidas para la dimensión del espacio vectorial generado por las filas. (Por ejemplo, si$A$es invertible entonces el "rango" de$\mathbf B$y$A\mathbf B$es el mismo. "Rango" de$A\mathbf B$está delimitado superiormente por el rango de$A$y también por el "rango" de$\mathbf B$.)

No podemos multiplicar por la derecha, pero aún podemos "cancelar" por la derecha en el sentido de que si filas de$\mathbf B$son linealmente independientes entonces$A\mathbf{B}=\mathbf{0}$implica$A=0$y$A_1\mathbf{B}=A_2\mathbf{B}$implica$A_1=A_2$.

Esta notación se puede usar, por ejemplo, para hacer una notación compacta para la matriz de transición entre dos bases escribiendo$\mathbf B_2=M\mathbf{B_1}$. (Y algunas demostraciones sobre matrices de transición podrían escribirse de una manera bastante compacta usando esta notación. Otra posible ventaja de esta notación es que si tenemos cuidado de hacer solo multiplicaciones "permitidas", podemos usar muchas propiedades de la multiplicación de matrices habitual - que después de un tiempo dedicado al álgebra lineal y las matrices se usan casi automáticamente).

Pregunta. ¿Hay algún texto que use este formalismo, donde podemos multiplicar por matrices "no numéricas" con filas (o columnas) que consisten en vectores del espacio vectorial arbitrario (no es necesario$n$-tuplas? ¿Hay algunas situaciones en las que el uso de este enfoque trae algunas ventajas?

Observación 1. En cierto sentido, las consideraciones anteriores pueden pasarse por alto fácilmente. Si trabajamos con el tipo de "matrices" de arriba, simplemente podemos tomar el subespacio de dimensión finita$S$que contiene filas de todas las matrices que necesitamos en este momento. (Por ejemplo, todas las filas que aparecen en alguna identidad de "matriz" que estamos viendo. O si$V$es de dimensión finita, simplemente podemos tomar$S=V$.) Si fijamos alguna base para$S$, esto induce un isomorfismo entre$S$y$F^n$, dónde$n=\dim(S)$y obtenemos un mapa natural$\mathbf{B} \mapsto B\in M_{m,n}$. Una vez que fijamos una base para$S$, cualquier resultado relacionado con la multiplicación de "matrices" ahora es solo la multiplicación habitual: solo necesitamos transferir todo a través de este isomorfismo. Aún así, tenía curiosidad por saber si a veces podría ser útil evitar la necesidad de arreglar una base y transferir cosas usando el isomorfismo correspondiente.

Observación 2. Los métodos de sumabilidad de matrices pueden verse como una multiplicación de una matriz infinita (de dimensiones "$\mathbb N\times\mathbb N$") por una secuencia considerada como un vector infinito. Aunque en tales "matrices" las filas no tienen un número finito de coordenadas, esto es diferente de lo que tengo en mente, ya que aquí trabajo con matrices que tienen un número finito de filas.