¿Qué matrices preservan la norma L1L1L_1 para vectores de norma unitarios positivos?

Las matrices que conservan el conjunto.$P$de vectores de probabilidad son aquellos cuyas columnas son miembros de$P$. Esto es obvio ya que si$x \in P$,$M x$es una combinación convexa de las columnas de$M$con coeficientes dados por las entradas de$x$. Cada columna de$M$debe estar en$P$(llevar$x$ser un vector con un solo$1$y todo lo demás$0$), y$P$es un conjunto convexo.

Ya que originalmente preguntaste sobre$L^1$espacios me atreví a añadir este comentario.

Si se quiere conservar la integral en (de dimensión finita y con medida finita)$L^1$espacios en lugar de la norma de$\ell^p$, las matrices$M$que hacen esto son más generales que las matrices estocásticas .

Uno puede definir estas matrices con dos componentes, etiquetados$S$(para el componente estocástico) y$G$(para el componente de matriz de permutación generalizada) tal que$M= S * G$, donde * representa el producto de Hadamard.

El$S$Las matrices son efectivamente matrices estocásticas como lo muestra Robert Israel.

El$G$matriz está dada por la única matriz resultante del producto exterior$u_{\mu} \otimes \frac{1}{u_{\mu}} := | u_{\mu} \rangle \langle \frac{1}{u_{\mu}} |$del vector columna único$u_{\mu} :=\left(\begin{array}{c}\mu_1 \\ \mu_2 \\ \ldots \\ \mu_2\end{array}\right)$y el vector de fila también único$\frac{1}{u_{\mu}} :=\left(\frac{1}{\mu_1} \ \frac{1}{\mu_2} \ \ldots \ \frac{1}{\mu_n}\right)$:

$G:=u_{\mu} \otimes \frac{1}{u_{\mu}} = \left(\begin{array}{cccc} 1 & \frac{\mu_2}{\mu_1} & \ldots & \frac{\mu_n}{\mu_1} \\ \frac{\mu_1}{\mu_2} & 1 & \ldots & \frac{\mu_n}{\mu_2} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \frac{\mu_1}{\mu_n} & \frac{\mu_2}{\mu_n} & \ldots & 1 \end{array}\right)$

dónde$\mu_i$ son las medidas de la familia generadora de subconjuntos $\{ A_i \}$del álgebra sigma subyacente, es decir $\mu_i := \mu(A_i)$y$n = |\{ A_i \}|$.

Para darle un ejemplo de donde el componente estocástico$S$está ausente, tome la matriz estocástica$S$ser simplemente una matriz de permutación. En este caso su$M$que conserva la integral es una matriz de permutación generalizada cuyos elementos distintos de cero son de la forma$A_{i,j} =\frac{\mu_{j}}{\mu_i}$.

Para ver por qué los valores de la medida$\mu_i$son necesarios en la definición de$M$recuerda que un$L^p$el espacio se define dada una medida espacio$(X,\Sigma,\mu)$. Entonces si el$L^1$el espacio es de dimensión finita entonces los vectores$v$en$L^1$son funciones simples , cuya integral se define como el producto$\langle u_{\mu}|v\rangle$. Y si la medida es finita , entonces esta integral siempre está bien definida.

Espero haberme dejado claro.