Una ecuación en la solución para "encontrar el término general de la secuencia de Fibonacci a través de la función generadora" es incomprensible.

Hay una pregunta de ejemplo sobre cómo encontrar el término general de la secuencia de Fibonacci a norte usando la función generadora en mi libro de texto. La solución que ofrece es la siguiente:

Paso 1

Dejar

F ( X ) = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + ⋯ + a norte X norte + ⋯
Sea la función generadora de la sucesión, donde a 0 = 0 , a 1 = a 2 = 1 .

Por lo tanto

X F ( X ) = a 0 X + a 1 X 2 + a 2 X 3 + ⋯ + a norte X norte + 1 + ⋯
y
X 2 F ( X ) = a 0 X 2 + a 1 X 3 + a 2 X 4 + ⋯ + a norte X norte + 2 + ⋯

Desde a norte = a norte − 1 + a norte − 2 , tenemos

F ( X ) − X = X F ( X ) + X 2 F ( X ) ⟹ F ( X ) = X 1 − X − X 2

Paso 2

F ( X ) = X 1 − X − X 2 = 1 5 ⋅ α X − α − 1 5 ⋅ β X − β

dónde α = − 1 − 5 2 , β = − 1 + 5 2 .

= − 1 5 ⋅ 1 1 − X α + 1 5 ⋅ 1 1 − X β = − 1 5 [ 1 + X α + ( X α ) 2 + ⋯ + ( X α ) norte + ⋯ ] + 1 5 [ 1 + X β + ( X β ) 2 + ⋯ + ( X β ) norte + ⋯ ]

de esto podemos obtener el término general de a norte fácilmente a través de la definición de función generadora.

Mi pregunta principal:

Donde hace F ( X ) = 1 5 ⋅ α X − α − 1 5 ⋅ β X − β ¿viene de?

  1. ¿Cómo determinamos los valores de α y β ?
  2. Donde hace 1 5 viene de ?
  3. ¿Cómo sabemos que tenemos que menos 1 5 ⋅ β X − β en lugar de más?

me he dado cuenta de que α y β son las raíces de X 2 + X − 1 . Sin embargo, todavía no sé cómo se transformó el libro. F ( X ) en 1 5 ⋅ α X − α − 1 5 ⋅ β X − β . Por lo tanto, creo que se necesita una explicación clara para mí. ¡Gracias!

Tal vez esta pregunta sea estúpida para ustedes, pero no puedo superarlo ya que no compré el libro de texto de la escuela. Tengo que aprenderlo solo sin un maestro.

Además, si esta publicación tediosa viola las reglas de MSE (por ejemplo, si se prohíben varias preguntas en una publicación), deje un comentario y haré todo lo posible para solucionarlo.

1. Es la expansión de fracciones parciales: en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction_decomposition
2. Viene de α y β

Respuestas (2)

Esto se conoce como descomposición en fracciones parciales . En resumen, la idea es factorizar el denominador (puedes encontrar las raíces usando la fórmula cuadrática), luego dividirlo en una suma de dos fracciones correspondientes a las raíces.

Por ejemplo,

1 ( X − X 1 ) ( X − X 2 ) = A X − X 1 + B X − X 2 .

Encontrar A y B , multiplica ambos lados por ( X − X 1 ) ( X − X 2 ) :

1 = A ( X − X 2 ) + B ( X − X 1 ) .
Esto tiene que ser válido para todos los valores de X , para que pueda hacer coincidir los coeficientes o comenzar a sustituir valores de X (p.ej, X = X 1 ) para resolver A y B .

¡Gracias por la respuesta directa! Honestamente, no sabía sobre la descomposición en fracciones parciales antes. Lo comprobaré más tarde.
@ Student1058 De nada. Esta es una herramienta simple (una vez que la aprendes) pero muy útil.

Esto se conoce como fracciones parciales como lo menciona @Théophile.

Desde − ( X 2 + X − 1 ) = − ( X − ( − 1 2 + 5 2 ) ) ( X − ( − 1 2 − 5 2 ) ) = − ( X − β ) ( X − α ) queremos encontrar A y B con:

− X ( X − α ) ( X − β ) = A X − α + B X − β = A ( X − β ) + B ( X − α ) ( X − α ) ( X − β ) .

Comparando numeradores tenemos − X = A ( X − β ) + B ( X − α ) . Ahora sustituimos los valores de X encontrar A y B .

Para X = α tenemos − α = A ( α − β ) entonces A = α β − α y del mismo modo tenemos B = β α − β .

Así tenemos

X 1 − X − X 2 = − X ( X − α ) ( X − β )
= − ( α β − α 1 X − α + β α − β 1 X − β )
= 1 β − α α X − α + 1 α − β β X − β .

Ahora que dejamos β = − 1 2 + 5 2 y α = − 1 2 − 5 2 , cuáles son β − α y α − β ?

Una ecuación en la solución para "encontrar el término general de la secuencia de Fibonacci a través de la función generadora" es incomprensible.
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