Una serie infinita de Ramanujan

Question

Una serie infinita de Ramanujan

Matemáticas
funciones generadoras
secuencias y series
coeficientes binomiales

Aditya Narayan Sharma

1 - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} + 9 {(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4})}^{3} - 13 {(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6})}^{3} + \dots

$1-5\left(\frac{1}{2}\right)^3+9\left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^3-13\left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^3+\cdots$

Seguí evaluando la serie anterior y encontré que resolver $\displaystyle \sum_{n\ge 0}\left(\binom{2n}{n}\right)^3x^n$ bastaría.

Pero, ¿cómo hacemos una función generadora para la tercera potencia de un coeficiente binomial central usando el hecho $\displaystyle \sum_{n\ge 0}\binom{2n}{n}x^n=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$

roberto israel

La función generadora no es algebraica. Se puede expresar mediante una función hipergeométrica: ver secuencia OEIS A002897 . Pero es poco probable que esa función hipergeométrica te ayude.

Aditya Narayan Sharma

La función generadora de "potencia 2" es en términos de integral elíptica y esta, como usted dice, en términos de funciones hipergeométricas, por lo que supongo que no hay ninguna forma cerrada. Pero Ramanujan encontró valor en la serie que publiqué anteriormente. Fue como

\frac{2}{π}

$\frac{2}{\pi}$ según mi memoria.

Respuestas (3)

Una serie infinita de Ramanujan

La función generadora no es algebraica. Se puede expresar mediante una función hipergeométrica: ver secuencia OEIS A002897 . Pero es poco probable que esa función hipergeométrica te ayude.
La función generadora de "potencia 2" es en términos de integral elíptica y esta, como usted dice, en términos de funciones hipergeométricas, por lo que supongo que no hay ninguna forma cerrada. Pero Ramanujan encontró valor en la serie que publiqué anteriormente. Fue como $\frac{2}{\pi}$ según mi memoria.

Claudio Leibovici · Answer 1

Esta no es una respuesta, sino solo un resultado obtenido usando un CAS.

Dejar

F_{k} = \sum_{norte = 0}^{\infty} {(\binom{2 norte}{norte})}^{k} X^{norte}

$f_k=\sum_{n=0}^\infty \binom{2 n}{n}^kx^n$ Se han obtenido las siguientes expresiones

F_{1} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 X}}

$f_1=\frac{1}{\sqrt{1-4 x}}$

F_{2} = \frac{2}{π} k (dieciséis X)

$f_2=\frac{2 }{\pi }K(16 x)$

F_{3} = \frac{4}{π^{2}} k {(\frac{1}{2} (1 - \sqrt{1 - 64 X}))}^{2}

$f_3=\frac{4 }{\pi ^2}K\left(\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{1-64 x}\right)\right)^2$

F_{4} =_{4} F_{3} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1, 1, 1; 256 X)

$f_4=\, _4F_3\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2};1,1,1;256 x\right)$

F_{5} =_{5} F_{4} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1, 1, 1, 1; 1024 X)

$f_5=\, _5F_4\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2};1,1,1,1;1 024 x\right)$ donde aparecen, por

k = 2, 3

$k=2,3$ , las integrales elípticas completas de primera especie y, por

k > 3

$k>3$ , las funciones hipergeométricas generalizadas

"+1", gracias por la información adicional, ¿hay alguna prueba de estos 5 en la web?
@AdityaNarayanSharma. No busqué eso. Después de tu comentario, solo por curiosidad, ¡le di un CAs para comer! Salud.
En el tercer caso, el argumento dentro de K está elevado al cuadrado, ¿verdad? ¿Y no toda la función K?
@AdityaNarayanSharma. Es toda la función la que se eleva al cuadrado.
@Lucian. ¡Ningún mérito en absoluto! Solo un CAS lo logró. Salud.
Reescribiendo tanto mi comentario como tu respuesta en términos de $~x=\bigg[\dfrac{\sin(2a)}{2^k}\bigg]^2,~$ con $~|a|<\dfrac\pi4,~$ tenemos $F_{0} = {segundo}^{2} (2 a), F_{1} = segundo (2 a), F_{2} = \frac{2}{π} k (pecado (2 a)), F_{3} = [\frac{2}{π} k (pecado a)]^{2} .$ $F_0~=~\sec^2(2a),\quad F_1~=~\sec(2a),\quad F_2~=~\dfrac2\pi~K\Big(\sin(2a)\Big),\quad F_3~=~\bigg[\dfrac2\pi~K(\sin a)\bigg]^2.$ Nota: he usado la notación de módulo tradicional $K(k)$ para el argumento de integrales elípticas , en lugar del de Mathematica en términos del parámetro $m=k^2.~$
@Lucian. ¡Esto es muy bonito, sin duda! Gracias por proporcionarlo. Salud.
Más simple. código matemático:f[k_] := HypergeometricPFQ[Table[1/2, k], Table[1, k - 1], 4^k*x]; f[5]

Paramanand Singh · Answer 2

Esta es una de las series más simples y famosas dadas por Ramanujan y su valor es $2/\pi$ . Desafortunadamente, la técnica de Ramanujan requiere un esfuerzo razonable para comprenderla. He presentado la prueba para esta serie y es amigo.

\frac{4}{π} = 1 + \frac{7}{4} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{13}{4^{2}} {(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4})}^{3} + \dots

$\frac{4}{\pi}= 1+\frac{7}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\frac{13}{4^{2}}\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^{3}+\dots$ en esta publicación

+1 Gracias por el enlace, conocía una o dos identidades nuevas.
@AdityaNarayanSharma: en caso de que quieras más, hay más series en la próxima entrada del blog paramanands.blogspot.com/2012/03/…

Rogers · Answer 3

Modificando un poco la respuesta de @ Claude Leibovici.
$\frac{1}{\left(1-z\right)^{a}}=\,_{1}F_{0}\left(a;;z\right)={\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{n}}{n!}z^{n}}$
y
$\frac{1}{\sqrt{1-4\cdot x}}={\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\begin{array}{c} 2n\\ n \end{array}\right)x^{n}}$
Dejar $z=4x,x=\frac{z}{4}$
$\frac{1}{\left(1-4x\right)^{a}}=\,_{1}F_{0}\left(a;;4x\right)={\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{n}}{n!}\,\left(4x\right)^{n}}$
$4^{n}\frac{\left(\frac{1}{2}\right)_{n}}{n!}=\left(\begin{array}{c} 2n\\ n \end{array}\right)$
Y tenemos la función generadora para $\left(\begin{array}{c} 2n\\ n \end{array}\right)^{k}\left(4^{k}x\right)^{n}$
es decir
$\,_{k}F_{k-1}\left({\displaystyle \prod_{i=1}^{k}\left(\frac{1}{2}\right)_n};{\displaystyle \prod_{i=1}^{k-1}\left(1\right)_n};4^{k}z\right)={\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}}\left(\begin{array}{c} 2n\\ n \end{array}\right)^{k}\left(4^{k}x\right)^{n}$
Donde "tomamos prestado" el $n!=\left(1\right)_{n}$

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Paramanand Singh

Rogers

Demuestra la función generadora ∑N≥0(M+NN)xN=1(1−x)M+1∑N≥0(M+NN)xN=1(1−x)M+1\sum_{N \geq 0} {M+N \elegir N}x^{N} = \frac{1}{(1-x)^{M+1}}

Evaluando ∑∞y=a(ya)⋅py−a∑y=a∞(ya)⋅py−a\sum_{y=a}^{\infty}{y \choose a} \cdot p^{ya} para p∈[0,1]p∈[0,1]p \en [0,1]

Dos relaciones en serie, cada una implica a la otra - del libro de particiones de Andrews

Uso de funciones definidas recursivamente

Series infinitas que involucran coeficientes binomiales generalizados y doble factorial

Suma alterna de cuadrados de coeficientes binomiales

Una ecuación en la solución para "encontrar el término general de la secuencia de Fibonacci a través de la función generadora" es incomprensible.

¿Esto realmente converge a 1/e? (Masajeando una suma)

Suma sobre el lado o Vertical del triángulo de Pascal / Serie infinita de coeficientes binomiales sumados sobre el índice SUPERIOR

Convergencia de la sucesión (an––n!zn)(an_n!zn)\big(\frac{a^{\underline{n}}}{n!} z^n \big)