Función generadora para la extraña secuencia de Fibonacci

No pude resolver el siguiente ejercicio de mi curso de Ecuaciones Diferenciales. La cuestión es encontrar una solución en serie de potencias para la ecuación diferencial:

$$\begin{equation} y''=y'+y, y(0)=0, y'(0)=1 \text{ of the form: } y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{F_n}{n!}x^n \end{equation}$$

Con$F_n$el n-ésimo número en la sucesión de Fibonacci.

Pude escribir esta serie de potencias con una relación recursiva:

$$\begin{equation} (n)(n-1)a_n=(n-1)a_{n-1}+a_n \text{ or }a_n=\frac{a_{n-1}}{n}+\frac{a_n}{n(n-1)} \end{equation}$$

traté de escribir$a_{n-1}$como la suma de sus antecedentes, lo que da

$$\begin{equation} \frac{2a_{n-2}(n-2)+a_{n-3}}{n(n-1)(n-2)} \end{equation}$$ De hecho, la continuación trae la serie de Fibonacci, ya que: $$\begin{equation} F_n=F_{n-1}+F_{n-2}=2\cdot F_{n-2}+F_{n-3} \end{equation}$$ Y continuar con la relación recursiva hasta el final daría el mismo resultado que$F_n/n!$ya que el factor$(n-2)$se convertiría en uno, pero ¿cómo haría para probar esto con mayor precisión?