Prueba de inducción para números de Fibonacci

Estoy tratando de familiarizarme con el método de inducción para la prueba, pero todavía tengo dudas sobre muchos aspectos de esta prueba con respecto a su aplicación a secuencias de números enteros, como la secuencia de Fibonacci.

PREGUNTA:

Demuestre por inducción que esto es cierto. (Estos son términos en la secuencia de Fibonacci)

$F_{n+3} = 2F_{n+1}+F_2F_n$

Números de Fibonacci:

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… =$ $F_1,\; F_2, \; F_3, \; F_4, \; F_5, \; F_6, F_7, \; F_8 \ldots$Entonces, el primer paso que realicé fue realizar algunos casos base:

.

Para$n=1:$ $F_{(1)+3} = 2F_{(1)+1}+F_2F_{(1)}$

=> Debería ser cierto que$F_4 = 2F_2+F_2F_1$

Reemplazando las F por los términos apropiados obtenemos

Para$n=1$:$3 = 2(1) + (1)(1) = 3$, entonces$3=3$es verdad.

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Para$n=3$:$F_{(3)+3} = 2F_{(3)+1}+F_2F_{(3)}$

=> Debería ser cierto que$F_6 = 2F_4+F_2F_3$

Reemplazando las F por los términos apropiados obtenemos

Para$n=3$:$8 = 2(3) + (1)(2) = 8$, entonces$8=8$es verdad.

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Hipótesis inductiva:

Para$n \leq k$debería sostener eso$F_{n+3} = 2F_{n+1}+F_2F_n = F_{k+3} = 2F_{k+1}+F_2F_k$

Para$n \leq k+2$debería sostener eso$F_{n+3} = 2F_{n+1}+F_2F_n = F_{(k+2)+3} = 2F_{(k+2)+1}+F_2F_{k+2}$

Para$n \leq k+3$debería sostener eso$F_{n+3} = 2F_{n+1}+F_2F_n = F_{(k+3)+3} = 2F_{(k+3)+1}+F_2F_{k+3}$

Paso inductivo:

Para el paso inductivo consideramos$k+1$. Si se cumple la hipótesis inductiva, debemos demostrar que$F_{(k+1)+3} = 2F_{(k+1)+1}+F_2F_{(k+1)}$.

A partir de aquí no sé cómo proceder. Ni siquiera sé si mi proceso hasta este punto es correcto. Buscando ayuda en mi entendimiento. Gracias de antemano por cualquier información útil.

Entonces, sé que a partir de mi hipótesis inductiva,

$F_{k+3} = 2F_{k+1}+F_2F_k$

Y en el paso inductivo me gustaría tener

$F_{k+4} = 2F_{k+2}+F_2F_{k+1}$,