Una cuestión sobre la compacidad y la existencia de CTC

Question

Una cuestión sobre la compacidad y la existencia de CTC

Ivica Smolic

Es un hecho bien conocido que un espaciotiempo compacto contiene necesariamente una curva temporal cerrada (CTC). La prueba se puede encontrar en varios libros sobre GR (por ejemplo, Hawking, Ellis, Proposición 6.4.2), y en esencia es así:

el espacio-tiempo $M$ puede ser cubierto por conjuntos abiertos de la forma $I^+(p)$ , futuro cronológico del punto $p \in M$ (nótese que a priori $p$ no es un elemento del conjunto $I^+(p)$ , pero tal situación puede ocurrir en presencia de CTC). Ahora, supongamos que $M$ es compacto Entonces hay una subcubierta finita, digamos

{I^{+} ({pag}_{1}), \dots, I^{+} ({pag}_{norte})}

$\{ I^+(p_1), \dots, I^+(p_n) \}$

El punto $p_1$ está contenido en $I^+(p_{k_1})$ para algunos $1 \le k_1 \le n$ , el punto $p_{k_1}$ está contenido en $I^+(p_{k_2})$ , etcétera. Dado que esta subcubierta es finita, eventualmente algún punto $p_{k_r}$ debe pertenecer a $I^+(p_{k_s})$ , con $s \le r$ . Entonces hay una curva temporal dirigida hacia el futuro que va desde $p_{k_r}$ a $p_{k_s}$ (desde $s \le r$ ) y luego de $p_{k_s}$ de regreso $p_{k_r}$ (desde $p_{k_r} \in I^+(p_{k_s})$ ), que da una curva temporal cerrada a través de $p_{k_r}$ (y $p_{k_s}$ ) en $M$ . QED

La pregunta que me inquieta es: ¿qué se supone implícitamente sobre el espacio-tiempo? $M$ , diciendo que la familia de conjuntos de la forma $I^+(p)$ es de hecho una cubierta de $M$ ?

Tomemos, por ejemplo, un espacio-tiempo plano con una parte de espacio compacta y una dirección de tiempo finita, por ejemplo $M = [0,1] \times T^3$ , dónde $T^3$ es un 3-toro (similar al espacio). Este es un colector compacto (ya que es un producto de dos colectores compactos) y no hay CTC. La escapatoria en el argumento anterior parece estar en el hecho de que los "puntos iniciales", $\{0\} \times T^3$ , no están cubiertos por ningún conjunto de la forma $I^+(p)$ .

Uno puede modificar fácilmente este ejemplo contrayendo los cortes espaciales iniciales y finales a puntos ("Big Bang" y "Big Crunch"); el espacio-tiempo resultante sigue siendo compacto y no contiene CTC.

¿Estas variedades no son "espaciotiempos regulares" por alguna razón?

twistor59

M = [0, 1] X T^{3}

$M=[0,1]XT^3$ es una variedad con frontera. ¿Quizá este es el problema?

Motl de Luboš

Sí, no son "espaciotiempos regulares" porque no son múltiples (cerrados, sin límites). En terminología más relativista (y matemáticas), decimos que tales variedades no pueden ser geodésicamente completas, ver, por ejemplo, en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_manifold#Geodesic_completeness - Físicamente, significa que después de los "límites", el espacio-tiempo no dice en qué evoluciona la física, aunque podría y debería, o al principio no dice de qué evolucionó, aunque podría y debería.

Respuestas (1)

Una cuestión sobre la compacidad y la existencia de CTC

$M=[0,1]XT^3$ es una variedad con frontera. ¿Quizá este es el problema?
Sí, no son "espaciotiempos regulares" porque no son múltiples (cerrados, sin límites). En terminología más relativista (y matemáticas), decimos que tales variedades no pueden ser geodésicamente completas, ver, por ejemplo, en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_manifold#Geodesic_completeness - Físicamente, significa que después de los "límites", el espacio-tiempo no dice en qué evoluciona la física, aunque podría y debería, o al principio no dice de qué evolucionó, aunque podría y debería.

jerry schirmer · Answer 1

Lo que se dice arriba en los comentarios es correcto. Tenga en cuenta que también puede violar este teorema con singularidades de curvatura esencial. La "esfera de Minkowski" con elemento de línea $ds^{2} = -d\theta^{2} + \sin^{2}\theta \,d\phi^{2}$ no contiene CTC (pero sí contiene curvas nulas cerradas), pero todas las geodésicas temporales que apuntan al futuro comienzan en el 'polo sur' y terminan en el 'polo norte'.

De acuerdo, entonces la declaración original debe reformularse en "el espacio-tiempo compacto geodésicamente completo necesario contiene un CTC". Sin embargo, en la RG clásica normalmente estamos tratando con espaciotiempos singulares (geodésicamente incompletos). ¿Significa esto que este teorema es de muy poca utilidad?
@IvicaSmolić: Probablemente lo diría; después de todo, los CTC no son físicos. Si fueran características genéricas del espacio-tiempo, tendríamos que dar algunas explicaciones para mostrar por qué no observamos tales fenómenos. Además, normalmente tratamos con espaciotiempos no compactos (siendo el modelo cosmológico cerrado de Robertson-Walker la excepción más notable), lo que haría que el teorema ya no se aplicara.
@IvicaSmolić, no creo que los espaciostiempos compactos se consideren muy a menudo, puede deberse a este teorema.

Una cuestión sobre la compacidad y la existencia de CTC

Ivica Smolic

twistor59

Motl de Luboš

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jerry schirmer

Ivica Smolic

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MBN

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