Definición de i+,i−,i0,I+,I−i+,i−,i0,I+,I−i^+,i^-,i^0, \mathscr{I}^+,\mathscr{I}^ - en un espacio-tiempo general

A veces me parece que se está llevando a cabo una construcción específicamente en el espacio-tiempo de Minkowski:

  1. Uno elige el tensor métrico estándar
    gramo = − d t 2 + d r 2 + r 2 d Ω 2
    an introduce dos nuevas funciones de coordenadas T , R definido por
    T = arcán ⁡ ( t − r ) + arcán ⁡ ( t + r ) , R = arcán ⁡ ( t + r ) − arcán ⁡ ( t − r )
    estas coordenadas tienen rangos finitos 0 ≤ R < π y | T | + R < π . El tensor métrico adquiere entonces la forma
    gramo = ω − 2 ( T , R ) ( − d T 2 + d R 2 + pecado 2 ⁡ R d Ω 2 ) .
    con ω ( T , R ) = porque ⁡ T + porque ⁡ R .
  2. Después de esto, uno se fotografía METRO sentado dentro de una variedad más grande descrita por la gama completa − ∞ < T < ∞ y 0 ≤ R ≤ π que es en este caso R × S 3 . Adentro R × S 3 tenemos un limite para METRO que se descompone como
    ∂ METRO = i + ∪ i 0 ∪ i − ∪ I + ∪ I −
    donde tenemos las piezas en coordenadas:
    i + = { pag ∈ R × S 3 : T ( pag ) = π , R ( pag ) = 0 } i 0 = { pag ∈ R × S 3 : T ( pag ) = 0 , R ( pag ) = π } , i − = { pag ∈ R × S 3 : T ( pag ) = − π , R ( pag ) = 0 } , I + = { pag ∈ R × S 3 : T ( pag ) = π − R ( pag ) , 0 < R ( pag ) < π } , I − = { pag ∈ R × S 3 : T ( pag ) = − π + R ( pag ) , 0 < R ( pag ) < π }

Esto permite una forma precisa de hablar de "infinito". Intuitivamente parece i + , i − son respectivamente el futuro lejano y el pasado lejano para partículas masivas ( t → ± ∞ ) , mientras I + , I − el análogo para partículas sin masa y i 0 es el infinito espacial ( r → ∞ ) .

Desafortunadamente, nunca me pareció que esto se hiciera en un entorno más general y tal vez coordinado.

Mi pregunta es: dado un espacio-tiempo general ( METRO , gramo ) como se define i 0 , i + , i − , I − , I + ?

¿No es el infinito solo un artefacto de su elección de coordenadas de todos modos? El objeto físico real es la variedad de espacio-tiempo; los infinitos en el sistema de coordenadas para la esfera 3 ocurren solo porque no se pueden cubrir con un solo gráfico. Para la pedagogía, la presentación se hace al revés, pero creo que esa no es realmente la forma correcta de pensar al respecto.
Esto puede ayudar: arxiv.org/abs/gr-qc/0501069
Obviamente, no es posible (o, de todos modos, relevante) si su espacio-tiempo ya es compacto en algún sentido (tal vez solo espacialmente compacto).
@Aaron si el escalar de Kretcschmann: k = R a b C d R a b C d → ∞ , entonces, esta es una singularidad real, física. NO es una singularidad de coordenadas y no se puede eliminar mediante una transformación de coordenadas.

Respuestas (1)

dado un espacio-tiempo general ( METRO , gramo ) como se define i 0 , i + , i − , I − , I + ?

Un espacio-tiempo genérico no admite tales extensiones. Estas extensiones existen siempre que un espacio-tiempo mayor ( METRO ′ , gramo ′ ) existe equipado con una incrustación adecuada ψ : METRO → METRO ′ y un mapa Ω : METRO ′ → R tal que METRO existe en METRO ′ como una variedad con límite y partes del límite ∂ METRO identificar a i 0 , i + , i − , I − , I + . El mapa Ω conecta la métrica física gramo el no físico gramo ′ como un factor conforme (singular) gramo ′ = Ω 2 ψ ∗ gramo y Ω se desvanece suavemente en ∂ METRO y satisface algunas propiedades técnicas adicionales (véanse las referencias citadas) esencialmente diciendo que la finalización "infinita" agregada se parece a la finalización infinita del espacio-tiempo de Minkowski.

Por definición, un espacio-tiempo es asintóticamente plano en el infinito nulo si admite una terminación de tipo nulo I ± como se dijo arriba. Una definición análoga es válida para la planitud asintótica espacial .

La definición es una extensión directa de la imagen del espacio-tiempo de Minkowski y su extensión conforme que incluye i 0 , i + , i − , I − , I + .

Las definiciones precisas se pueden encontrar, por ejemplo, en el libro de texto de Wald (desde la página 275 en adelante) o también en mi libro recientemente escrito en coautoría y las referencias que contiene.

Gracias por la respuesta y las referencias! Estoy bastante interesado en QFT en espaciotiempos curvos, por lo que su libro seguramente será útil. Les di una mirada. Wald habla de esto en el contexto de la planitud asintótica, y si entendí bien, dice que la parte de "planitud" está contenida en la condición impuesta a las derivadas de Ω . Entonces, relajar dicha condición permite definir i 0 , i + , i − I + , I − incluso cuando el espacio-tiempo no es asintóticamente plano? ¿O identificar estos lugares solo es posible cuando el espacio-tiempo es asintóticamente plano?
La existencia de esos tipos de infinito es la definición de la planitud asintótica correspondiente, al menos para el primero y los dos últimos tipos que enumeró. El infinito temporal futuro y pasado tienen una naturaleza diferente.
Confieso que mi intuición al respecto falló entonces. Al menos intuitivamente, pensé que con solo la existencia de la incrustación que mencionas (1) uno podría definir estos cinco objetos y luego (2) uno podría definir aún más la planitud asintótica al imponerles condiciones adicionales. Entonces, ¿la conclusión es que uno solo puede definir estos infinitos cuando el espacio-tiempo es asintóticamente plano, de modo que la incrustación no es suficiente para identificar los diversos infinitos?
Esa es la (s) definición (es) de planitud asintótica, puede aceptarla o no. Una discusión sobre esta definición se puede encontrar en el libro de Wald. De hecho, estas definiciones no son muy intuitivas.
En cierto sentido, estos espaciotiempos se parecen al espaciotiempo de Minkowski en el infinito, ya que se pueden completar de manera similar allí.
Definición de i+,i−,i0,I+,I−i+,i−,i0,I+,I−i^+,i^-,i^0, \mathscr{I}^+,\mathscr{I}^ - en un espacio-tiempo general
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