Sobre la extracción de números primos a partir de coprimos

Question

Shivam patel

Prueba o refuta la siguiente afirmación:

Existen infinitamente muchos $a$ y $b$ que son un par de enteros coprimos, ya sea $ab+1$ o $ab-1$ es primo

Motivación - Mirando algunos pares primos gemelos y calculando mucho - Supuse algo como lo de arriba.

marca bennet · Answer 1

Toma cualquier número primo impar $p$ . Dejar $a$ ser el mayor poder de $2$ que divide $p-1$ , y $b=\cfrac {p-1}a$ entonces $ab+1=p$ y $(a,b)=1$ .

Puedes hacer lo mismo para $ab-1$ tomando factores de $p+1$ .

Desde $p$ era arbitrario, y hay infinitos números primos, hay infinitos pares $(a,b)$ satisfaciendo su criterio.

Tenga en cuenta que si evita los casos ocasionales en los que $ab+1$ o $ab-1$ son poderes de $2$ , puede obtener tantas factorizaciones no triviales como desee (ambos factores mayores que $1$ ). Con un poco más de trabajo puedes hacer lo mismo con primos que no sean $2$ - por ejemplo si $p=6r-1$ entonces $p+1$ tiene un factor $3$ .

Hagen von Eitzen · Answer 2

La declaración es trivial de la infinidad de números primos. Si $p$ es primo, vamos $a=p+1$ y $b=1$ , entonces $ab-1$ es primo