Equivalencia de la conjetura de Grimm a la conjetura de Legendre

conjetura de Grimm

Si$n + 1$,$n + 2$, …,$n + k$son todos números compuestos, entonces hay k primos distintos$p_ᵢ$tal que$p_ᵢ$divide$n + i$para$1 \leq i \leq k$.

Por ejemplo, para el rango$242$a$250$, se pueden asignar primos distintos de la siguiente manera:

$242: 11$,$243: 3$,$244: 61$,$245: 7$,$246: 41$,$247: 13$,$248: 31$,$249: 83$,$250: 5$

Según Grimm (1969), ya está probado que hay un número finito de excepciones a esta conjetura. (Referencia del tema del problema de Grimm de los números primos de David Wells).

Paul Erdos y JLSelfridge ya han demostrado que incluso si consideramos la versión débil de la conjetura de Grimm, implicaría la conjetura de Legendre. (Referencia: algunos problemas sobre los factores primos de los números enteros consecutivos 2). En su artículo, hizo muchas otras equivalencias importantes a la conjetura de Grimm, que veo mucho más allá de mi conocimiento en este momento. En resumen elemental, por favor alguien reduzca los niveles de su argumento y nos hace comprender algunas de las implicaciones importantes de la conjetura de Grimm.

Además, si ya se ha demostrado que tiene un número finito de excepciones, ¿cómo se podría proceder a generar una prueba de la conjetura de Grimm? ¿Y hasta la fecha ha habido algún progreso significativo al respecto? Y si es posible, enumere algunas otras conjeturas relacionadas con la conjetura de Grimm, y principalmente sobre números compuestos y números primos.

Muchas gracias de antemano :) Saludos