Una bolsa con 3 bolas negras y 33 bolas blancas, encuentre el número esperado de tirones

Así que me topé con esta pregunta: tengo una bolsa con 36 bolas: 3 negras y 33 blancas. Necesito calcular la cantidad esperada de tirones sin volver a poner la pelota tirada en la bolsa antes de obtener:

(a) 1 bola negra

(b) las 3 bolas negras

Entonces, para (a): usé la definición directa del valor esperado, que dice que el resultado es igual a: 1 ∗ 3 36 + 2 ∗ 33 36 ∗ 3 35 + 3 ∗ 33 36 ∗ 32 35 ∗ 3 34 + . . .

Pero no pude encontrar una forma cerrada para esto, así que lo dejé así, por ahora, tratando de encontrar una mejor manera.

Para (b) probé el mismo enfoque pero para las probabilidades traté de usar la combinatoria. Por ejemplo, la cantidad total de formas de sacar 3 bolas de 36 es (36 elige 3) = 7140.

Ahora bien, solo hay 1 preparación para un éxito con 3 intentos, también conocido como 1ra bola, 2da bola y 3ra bola.

Para 4 intentos, el último intento está bloqueado para la tercera bola y luego obtuve 3 opciones de 2 formas = 3 formas de distribuir las 2 bolas restantes entre los primeros 3 intentos

Para 5 intentos, la misma lógica, pero ahora tengo 4 elige 2 formas = 6 formas de distribuir las 2 bolas restantes entre los primeros 4 intentos.

Y así sucesivamente

Luego calculo la probabilidad dividiendo el número de formas por 7140 y luego calculo la expectativa. Obtuve 27.75 allí, con Excel.

Pero aquí está el problema. Decidí simular aleatoriamente este proceso usando Python con 10000000 ejecuciones y mis respuestas simplemente no coinciden con el resultado de la simulación, que es 8 por 1 bola y 24 por 3 bolas. Solo puedo imaginar que mis matemáticas están mal, así que... busco ayuda.

Un argumento de simetría (contando desde el otro extremo) sugiere que las respuestas a (1) y (2) deberían sumar 3 + 33 + 1 = 37
Gracias por el comentario, señor. Desafortunadamente, no estoy seguro de cómo utilizar tu sugerencia.
Estoy diciendo que los resultados de su simulación parecen inverosímiles.
¿Has considerado que se trata de una distribución binomial?
Mi 3 + 33 + 1 = 37 El resultado se basa en el número esperado de sorteos sin reemplazo para obtener la primera o la última bola negra. Si desea el número de sorteos "antes" de que esto suceda (es decir, uno menos en cada caso), entonces obtendría 3 + 33 − 1 = 35
@Henry Maldición, de hecho tienes razón. Gracias por señalar esto, me estaba volviendo loco, te lo digo. Ahora, la simulación de 1 bola muestra aproximadamente 9 intentos y aproximadamente 27 para 3 bolas, pero esto suma 36... ugh, ¿todavía hay algo mal entonces? Seré honesto, su argumento de simetría me parece muy arcano, como en, no entiendo, por qué este argumento sugiere su ecuación.
@SupremePickle no estoy seguro de poder usarlo aquí ya que no puedo devolver las bolas. ¿Tal vez no lo estoy entendiendo lo suficientemente bien entonces?
Mis simulaciones sugieren 9.25 y 27.75
@Henry Ok, ahora veo. Se corrigió otro error (usaba random.randrange en lugar de random.randint), y sí, ahora coincide con sus números. Gracias por su aporte. La pregunta está resuelta.

Respuestas (1)

Sea el número de bolas blancas antes de la primera bola negra, entre la primera y la segunda bola negra, entre la segunda y la tercera bola negra, y después de la última bola negra, denotado por X 1 , X 2 , X 3 , X 4 respectivamente.

X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = 33

Debido a la simetría, obtenemos la siguiente identidad para la expectativa de X i :

mi ( X 1 ) = mi ( X 2 ) = mi ( X 3 ) = mi ( X 4 ) = 1 4 mi ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) = 33 4

  1. El número esperado de sorteos para la primera bola negra es mi ( X 1 ) + 1 = 37 4
  2. El número esperado de sorteos de la última bola negra es mi ( X 1 ) + mi ( X 2 ) + mi ( X 3 ) + 3 = 111 4
¿Puedes decir cómo funciona ese argumento de "simetría"? No me parece obvio.
Asombroso. Claramente necesito tratar de ver tales preguntas desde muchos ángulos diferentes. Gracias por la solución.
@Ingix PAG ( X i = X i ) = ( 33 − X i + 2 2 ) ( 33 + 3 3 )
@Ingix Creo que eliminé esa notación, jaja, pero espero que entiendas mi punto
Intuitivamente puedo ver por qué mi ( X 1 ) = mi ( X 4 ) por simetría, y también por qué mi ( X 2 ) = mi ( X 3 ) . Pero no puedo ver por qué mi ( X 1 ) = mi ( X 2 ) . ¿Es obvio para ti? ¡Quizás mi intuición sobre la simetría no se extiende a esto por alguna razón!
Ok, lo veo ahora, para cualquier valor a y b de X 1 y X 2 , podemos pensar en la probabilidad como condicionada a que la segunda bola negra esté en posición a + b + 2 . Entonces podemos ver por simetría que PAG ( X 1 = a ∩ X 2 = b ) = PAG ( X 1 = b ∩ X 2 = a ) .
@alcana hay tantas soluciones enteras no negativas posibles para X 1 + X 3 + X 4 = 33 − a como para X 2 + X 3 + X 4 = 33 − a o por cualquier suma de tres X i s
Una bolsa con 3 bolas negras y 33 bolas blancas, encuentre el número esperado de tirones
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