Problema complicado de probabilidad (¿2 posibles soluciones?!)

El problema se plantea de la siguiente manera:

Estás tratando de completar el álbum de cromos de la Copa del Mundo, para eso necesitas 600 cromos normales distintos y 80 cromos holográficos distintos. Se sabe que la probabilidad de obtener un holograma en un paquete de pegatinas es 1 5 de la probabilidad de obtener la etiqueta normal. Supongamos que los paquetes de pegatinas vienen con 2 pegatinas.

(a) Dado que solo necesita 1 calcomanía normal para completar el álbum, ¿cuál es la probabilidad de obtener esta calcomanía en el próximo paquete?

(b) El mismo problema que (a) pero ahora es un hecho que ningún paquete de pegatinas viene con 2 pegatinas iguales.

PD: (a) es bastante sencillo, pero me parece que el punto (b) tiene dos razonamientos aparentemente correctos que dan respuestas diferentes:

    1. Defina los eventos:

R: obtienes la pegatina normal que necesitas

B: El paquete de pegatinas viene con diferentes pegatinas.

PAG = PAG ( A | B ) = PAG ( A ∩ B ) PAG ( B ) = 5 3080 3075 3080 + 80 3080 5 3080 + 2995 3080 5 3080 3000 3080 2995 3080 + 3000 3080 80 3080 + 80 3080 3000 3080 + 80 3080 79 3080 = 0.003246643551268461

    1. Si piensas en elegir sin reemplazo:

PAG = 5 3080 + 80 3080 5 3079 + 2995 3080 5 3075 = 0.0032466983793436

PPS: llegué a este problema cuando estaba tratando de resolver este rompecabezas: https://gscap.com.br/puzzle/ . Pregunta el valor esperado del dinero que necesitas para completar el álbum. ¡Algunos de ustedes pueden estar interesados ​​en resolverlo!

Debe explicar los dos razonamientos que ha considerado, para que podamos decir cuál es incorrecto.
¿Cada pegatina es distinta? ¿O solo hay uno de cada tipo y necesita 600 copias del regular, y 80 copias del holográfico?
necesitas 600 pegatinas normales distintas y 80 holográficas distintas
Entonces, habríamos tenido la probabilidad de que la primera pegatina del paquete fuera nuestra pegatina normal deseada. 5 6 × 1 600 = 5 3600 , ¿no? donde fue 3080 provienen de sus cálculos?
si, se te ocurre etiquetar del 1 al 600 los stickers normales y del 601 al 680 los holográficos. Decir que todo lo que necesitas para completar el álbum es la pegatina número 1. Y sobre la información de probabilidades relativas: la aparición de una pegatina x normal es 5 veces más frecuente que la aparición de la pegatina holográfica y en los packs.
Olvidé mencionar que todos los normales son equiprobables y todos los holográficos son equiprobables. creo que eso soluciona el problema
Bien... Ahora que entiendo el problema, puedo ver la lógica detrás de sus respuestas. La diferencia entre las respuestas puede explicarse porque el proceso aleatorio que impulsa el muestreo es diferente en las dos respuestas. En el primero, es como si escogieran uno y luego escogieran otro. Si resultó ser un duplicado, intentamos todo el proceso nuevamente desde el principio. En el segundo, es como si eligieran uno, eliminaran cualquier duplicado del grupo disponible y luego eligieran otro. No coinciden del todo.

Respuestas (1)

Considere una muestra mucho más pequeña para que podamos aplicar fuerza bruta a los cálculos según sea necesario. Tenemos { A 1 , A 2 , B , C } .

  • Escenario 1: Extraemos dos letras del conjunto de forma independiente y uniforme al azar. Si ambos son la misma letra ( A 1 y A 2 ambos cuentan como A 's ) volvemos a intentarlo desde el principio.

Encontrarás que cada uno de { A 1 , B } , { A 1 , C } , { A 2 , B } , { A 2 , C } , y { B , C } tienen la misma probabilidad de haber ocurrido. En particular, { B , C } ocurre con probabilidad entonces 1 5

  • Escenario 2: Sacamos una letra del conjunto uniformemente al azar. Quitamos esa carta ( ambas copias en el caso de ser carta A ) del conjunto y luego dibujar de nuevo de lo que quede.

Aquí, tendremos los mismos resultados, sin embargo, ya no podemos afirmar que es igualmente probable que hayan ocurrido. Verás en particular que { B , C } ocurrirá con probabilidad 2 4 × 1 3 = 1 6

Es un resultado directo de la diferencia en los procesos de selección que causó la diferencia en las probabilidades. De la misma manera, sus procesos de selección implícitos en sus cálculos anteriores estaban utilizando estos dos escenarios respectivos en sus intentos de cálculo. Ambos parecen estar calculados correctamente, sin embargo, son respuestas correctas a sus respectivos problemas diferentes .

Problema complicado de probabilidad (¿2 posibles soluciones?!)
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