Antecedentes matemáticos de la mecánica cuántica [duplicado]

Tendrás matemáticas más que suficientes para los primeros dos semestres de mecánica cuántica si estás tomando análisis funcional en un curso de matemáticas.

La inmensa mayoría de los libros de mecánica cuántica tendrán las matemáticas requeridas en un apéndice. Eso es cierto ya sea que desee o no los tratamientos matemáticos más sofisticados (por ejemplo, el texto clásico de Von Neumman), o los aspectos básicos menos rigurosos.

Entonces, si bien es posible que deba buscar en otra parte la teoría de las distribuciones (por ejemplo, la forma correcta de manejar la función delta de Dirac), en su mayor parte, realmente no necesita saberlo para hacer la física, o más bien, simplemente desordena notación.

Esto más o menos también es válido para la teoría cuántica de campos (donde, por ejemplo, necesita saber algo de teoría de grupos) y, nuevamente, la mayoría de los textos discutirán el material necesario, aunque, por supuesto, dependiendo de qué tan lejos llegue, conducirá a áreas de investigación activas donde conocer Algunas matemáticas esotéricas a veces son útiles.

Los libros de Dover son buenos y baratos. Por ejemplo, aquí está Matemáticas para Mecánica Cuántica .

Un buen lugar para buscar recomendaciones de libros para físicos matemáticos es esta página de John Baez:

• libros , como aprender matematicas y fisica

Tengo que estar de acuerdo con los demás en que la mejor manera de aprender los antecedentes matemáticos de QM es aprender QM, verá usted mismo qué tipo de herramientas matemáticas tendrá que estudiar más a fondo.

De todos modos, aquí hay algunos consejos: si decide asistir a un curso de matemáticas sobre análisis funcional, vea que se trata de operadores lineales en el espacio de Hilbert que conducen al teorema espectral. Esa es la parte del análisis funcional que necesitará primero en QM. El "análisis funcional" es un tema amplio, y muchas facultades de matemáticas comienzan con cosas más abstractas que necesitará más adelante (como álgebras de Banach o espacios vectoriales topológicos).

Aquí hay un ejemplo de un libro que está diseñado para las necesidades especiales de los físicos que aprenden QM:

• Nino Boccara: "Análisis Funcional. E Introducción para Físicos".

Es breve, explica todo en detalle y cubre los temas esenciales para QM:

• Medida e Integración

• Espacios Lebesgue

• Espacios de Hilbert

• Distribuciones, Transformadas de Fourier y Laplace

• Operadores lineales, acotados y no acotados, teoría espectral

El trasfondo más importante es la extensión del álgebra lineal a espacios vectoriales de dimensión infinita. Así que introduces los espacios de Banach y Hilbert,$L^p$y tenga en cuenta que sólo$L^2$(ese es el espacio de funciones de ondas cuánticas) es un espacio de Hilbert.

Debes estudiar el operador lineal en$L^2$, y$l^2$: se debe prestar mucha atención a los operadores adjuntos, operadores hermitianos y antihermitianos, operadores unitarios, proyectores...Después de eso, definición de la norma de un vector y un operador y operador limitado y no limitado (un operador limitado es un operador continuo), y el teorema de Riesz. Si estudias la teoría de la medida de Lebesgue es mejor.

La definición de producto tensorial de muchos espacios de hilbert (solo un producto tensorial finito de espacios de hilbert es un espacio de hilbert nuevamente) también es importante.

Por último, pero no menos importante, el análisis de Fourier, la noción de base completa y ortonormal, productos escalares y series de Fourier generalizadas; Funciones verdes.

Todas estas definiciones y argumentos se pueden encontrar en este libro, por ejemplo: Reed M, Simon B, Methods Of Modern Mathematical Physics, que es matemáticamente muy riguroso y preciso.