Un paso en la derivación del momento magnético del electrón en el libro QFT de Zee

En el capítulo III.6 de su Teoría cuántica de campos en pocas palabras , A. Zee se propone derivar el momento magnético de un electrón en la electrodinámica cuántica. Comienza reemplazando en la ecuación de Dirac la derivada$\partial_\mu$por la derivada covariante$D_\mu = \partial_\mu - i e A_\mu$, dónde$A_\mu$es un campo electromagnético externo (clásico). Tenemos

$$(i \gamma^\mu D_\mu - m) \psi ~=~ 0.$$ De ahí se deriva $$\left(D_\mu D^\mu - \frac{e}{2} \sigma^{\mu \nu} F_{\mu\nu} + m^2\right) \psi~=~ 0,$$ donde, como siempre, $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$y $\sigma^{\mu \nu}$son los conmutadores del Dirac $\gamma$matrices: $$\sigma^{\mu \nu}=\frac{i}{2}[\gamma^\mu, \gamma^\nu].$$

Mi problema trata con un paso aparentemente simple que utiliza Zee en la derivación. Él afirma que

$$(i/2) \sigma^{\mu \nu}[D_\mu, D_\nu] = (e/2) \sigma^{\mu \nu} F_{\mu\nu}.$$ Sin embargo, obtengo $$[D_\mu, D_\nu] = -ie\partial_\mu A_\nu + ie\partial_\nu A_\mu -ieA_\mu\partial_\nu + ie A_\nu \partial_\mu = -ieF_{\mu\nu} -ie A_\mu\partial_\nu + ie A_\nu \partial_\mu,$$ pero no veo ahora por qué los dos últimos términos desaparecen cuando se multiplican por $\sigma^{\mu \nu}$. Incluso traté de usar las expresiones explícitas para $\sigma^{\mu \nu}$y obtuvo un valor distinto de cero. Tengo la sensación de que me estoy perdiendo algo realmente simple aquí. ¿Alguien ve lo que hice mal?