¿Permanece en la mecánica cuántica el 4343\frac{4}{3} problema del electromagnetismo clásico?

Esquema del problema

En la referencia citada, Feynman comienza su argumento afirmando que la energía de una esfera de inercia de radio$a$y carga uniforme$q$es dado por

$$U_{elec} = \int_{\mathbb{R}^3} dV \, u_{elec} = \int_{\mathbb{R}^3} dV \, \left( \frac{\epsilon_0 E}{2} \right) = \frac{1}{2a} \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0} \equiv \frac{e^2}{2a} \, \qquad \qquad(*)$$

dónde$E$y$u_{elec}$son su campo eléctrico y densidad y la última ecuación define el símbolo$e^2$. Si ahora consideramos que la esfera se mueve con velocidad constante$v \ll c$, su densidad de momento se obtiene del vector de Poynting:

$$\vec{p} = \int_{\mathbb{R}^3} dV \vec{S} = \int_{\mathbb{R}^3} dV \left( \epsilon_0 \vec{E} \times \! \vec{B} \right) = \left( \frac{2}{3} \frac{e^2}{a c^2} \right) \vec{v} \equiv m_e \vec{v} \, , \qquad \qquad(**)$$

donde la última ecuación define la masa electromagnética $m_e$. También podemos asociar una segunda masa eléctrica$m_{e}'$Al campo$U_{elec}$usando la relatividad especial (SR):

$$E = m c^2 \Longrightarrow \frac{U_{elec}}{c^2} = m_{e}' \Longleftrightarrow \frac{e^2}{2a c^2} = m_{e}' = \frac{3}{4} m_{e} \Longrightarrow U_{elec} = \frac{4}{3} m_{e} c^2 \, ,$$

es decir, la masa "relativista"$m_e'$no es lo mismo que la masa "electrica"$m_e$, siendo el absurdo explícito en las ecuaciones anteriores.

la escapatoria

¿Tenemos derecho a invocar SR en un solo paso de derivación? Aunque usamos la famosa fórmula de Einstein para llegar a la$\frac{4}{3}$problema, observe que no hemos usado SR antes:$(*)$y$(**)$¡Ni siquiera son invariantes de Lorentz! Si adaptamos los cálculos para incluir SR,$U_{elec}$y$\vec{p}$transformar como

$$\begin{align} U_{elec}' &= \gamma \left( U_{elec} + \vec{p} \cdot \vec{v} \right) \\ \vec{p}' &= \gamma \left( \vec{p} + \dfrac{U_{elec} \vec{v}}{c^2} \right) + (\gamma-1)\vec{v} \times \left( \vec{v} \times \vec{p} \right) \, . \end{align}$$

Es decir, para una partícula en reposo tenemos$\vec{p} = 0$e, introduciendo la velocidad de una manera relativistamente significativa al cambiar a un marco de referencia móvil con velocidad$\vec{v}$,

$$\begin{align} U_{elec}' &= \gamma \, U_{elec} = \gamma \left( \frac{e^2}{2a} \right) = \gamma m_e' c^2 \\[8pt] \vec{p}' &= \gamma \left( \dfrac{U_{elec}}{c^2} \right) \vec{v} = \gamma \left( \frac{e^2}{2ac^2} \right) \vec{v} = \gamma m_e' \vec{v} \, , \end{align}$$

donde ahora, he aquí, todo encaja y no hay absolutamente nada$\frac{4}{3}$paradoja. Solo era cuestión de moverse correctamente entre los marcos de referencia.

¿Qué quiso decir Feynman?

Siendo uno de los físicos más brillantes de la historia, Richard Feynman nunca abusaría de la RS como si fuera necesario para llegar a la$\frac{4}{3}$paradoja. De hecho, Abraham y Lorentz, los descubridores, solo lo hicieron porque no sabían realmente cómo transformar entre marcos de referencia, ya que SR no se había terminado en ese momento. Citemos entonces lo que realmente dijo Feynman:

Hay dificultades asociadas con las ideas de la teoría de Maxwell que no se resuelven ni se asocian directamente con la mecánica cuántica. Puedes decir: “Quizás no tenga sentido preocuparse por estas dificultades. Dado que la mecánica cuántica va a cambiar las leyes de la electrodinámica, deberíamos esperar a ver qué dificultades hay después de la modificación”. Sin embargo, cuando se une el electromagnetismo a la mecánica cuántica, las dificultades persisten.

De hecho, el$\frac{4}{3}$El problema no se resuelve mediante la mecánica cuántica (QM), sino mediante el uso cuidadoso de SR. Abraham y Lorentz usaron$(*)$y$(**)$indiscriminadamente porque no sabían que los electrones en movimiento se deforman en elipsoides según SR. El hermoso artículo de Rohrlich , del cual esta respuesta es un resumen, muestra que el error al ignorar la deformación del electrón equivale exactamente a$-\frac{1}{3} m_e' c^2$, lo que corregiría su resultado y también eliminaría el$\frac{4}{3}$problema. Creo que Feynman estaba hablando de otros problemas que migran de la electrodinámica clásica a la cuántica (QED), no de esta aparente paradoja. El problema de la autoenergía , por ejemplo, requiere que el electrón en QED tenga una estructura interna poco intuitiva o interactúe con cosas que tienen masa negativa, de lo contrario explotaría (aparte de la renormalización). Este problema migra erróneamente de la electrodinámica clásica debido a la postulación de un "estrés de Poincaré" que no solo estabilizaría al electrón, sino que también corregiría el$\frac{1}{3}$factor que falta en el$\frac{4}{3}$problema. Afortunadamente, muchos físicos ayudaron a disociar el problema de la estabilidad electrónica de la$\frac{4}{3}$problema, que en realidad no es un problema, ya que en realidad no aparece en QED. Sin embargo, el problema de la estructura interna del electrón es bastante real.

En la visión moderna de la teoría cuántica de campos, la$4/3$El problema, así como las cuestiones relacionadas con los cargos puntuales, son cuestiones de regularización.

El problema es que quieres tratar con una cantidad singular, a saber, la energía y el momento de una carga puntual ideal, pero es imposible decir algo definitivo porque todas estas cantidades son divergentes. Para obtener una respuesta finita, modifica el sistema regularizándolo de alguna manera, por lo que las respuestas resultan finitas. En general, la regularización puede y romperá las simetrías, y generalmente hacemos todo lo posible para elegir un esquema de regularización que conserve las simetrías que más nos interesan.

La razón filosófica por la que esto funciona es porque sabemos que nuestras teorías solo son válidas hasta una determinada escala de corte.$\Lambda$, por encima de la cual aparecen nuevos fenómenos. Por debajo del límite, los efectos de estos nuevos fenómenos se pueden parametrizar en términos de un Lagrangiano efectivo. Por lo tanto, podemos obtener las mismas predicciones de baja energía en cualquier esquema de regularización que produzca el mismo Lagrangiano efectivo, incluso si estos esquemas colocan física dramáticamente diferente por encima de la escala de corte.

En este caso, Feynman está regularizando la teoría clásica cortando las integrales de campo en$\Lambda \sim 1/a$. Desafortunadamente, este esquema de regularización no preserva la invariancia de Lorentz y, además, la invariancia de Lorentz no se restaura ni siquiera en el límite continuo.$\Lambda \to \infty$. Esto no es algo raro. Por ejemplo, la QCD de celosía también tiene que abordar este problema, porque una regularización de celosía rompe claramente la invariancia de Lorentz.

La razón por la que la red QCD funciona de todos modos, en el lenguaje RG, es que sus sistemas están diseñados para que solo se puedan producir operadores irrelevantes adicionales, cuyos efectos se desvanecen en el límite continuo.$a \to 0$. Intuitivamente, el problema con la regularización de Feynman es que permite operadores extra relevantes, que estropean el Lagrangiano efectivo sin importar qué.$a$es, aunque este lenguaje no es exacto ya que Feynman no se trata de una teoría cuántica de campos.

La resolución moderna de la$4/3$problema en la teoría cuántica de campos es esencialmente por decreto. Una teoría no regularizada está mal definida; no podemos hablar de QED no regularizado porque tal teoría ni siquiera existe. En cambio, necesitamos un regulador en mente desde el principio. Como sabemos que la invariancia de Lorentz es una simetría de nuestro mundo, elegimos un regulador que recupere la invariancia de Lorentz en el límite continuo.

Aparte de H. Poincaré, el primer físico que hizo una "derivación" relativista correcta fue E. Fermi.

Aquí me gustaría centrarme en el efecto físico de la famosa autoacción: es simplemente una autoinducción que "ralentiza" o "resiste" a cualquier aceleración (cambio en el tiempo de una corriente constante). Aparentemente, no es un efecto deseado, no es una pequeña resistencia radiativa en absoluto, sea cual sea el tamaño del electrón.

Tenga en cuenta que el EMF "se mueve" bien con el electrón, de acuerdo con la ecuación de Maxwell, por lo que no es necesario tenerlo en cuenta "nuevamente" en las ecuaciones electrónicas (mecánicas). La resistencia radiativa debe adivinarse a partir de diferentes ideas físicas en lugar de "auto-acción".

En QED, este problema permanece y se "resuelve" modificando las soluciones de ecuación (incorrectas) en lugar de modificar las ecuaciones incorrectas.

Los resultados de mi investigación aún están en un estado embrionario, pero procedo de otra idea física que capta bien la resistencia radiativa.

Con respecto al problema descrito en el Volumen II Capítulo 28 de las Lecciones de Física de Feynman, la razón del problema 4/3 es que uno de los términos que afectan el movimiento de la partícula no se tiene en cuenta. Ese término es la destrucción del campo de energía en el frente de la esfera cargada y su creación en la parte de atrás. Si bien la energía general del campo no está cambiando, si evalúa la energía localmente, puede ver que en el frente, el término v·E significa que la energía se lleva del campo a la partícula y en la parte posterior, sucede lo contrario, como esto sucede todo el tiempo su efecto es equivalente a un movimiento hacia atrás. Cuando lo agrega al movimiento normal causado por el impulso, descubre que necesita una masa m_e = (1/2)e^2/a y no hay más inconsistencias.

Coloqué un pequeño documento sobre el tema aquí: https://www.slideshare.net/SergioPL81/adding-a-shift-term-to-solve-the-43-problem-in-classical-electrodinamics