Alastair Rae afirma que hay 4 postulados de la Mecánica Cuántica en su texto sobre el tema. La primera parte de su segundo postulado puede enunciarse como:
Toda variable dinámica puede ser representada por un operador hermitiano cuyos valores propios representan el resultado de realizar una medición del valor de la variable dinámica...
Mi pregunta es: ¿cuánto podemos deducir al decir que algunos de los operadores involucrados en la mecánica cuántica son hermitianos?
Cuando uso la palabra hermítica, me estoy refiriendo a la propiedad de que dónde es un operador y es el adjunto de . ¿Un operador que sea hermitiano implica automáticamente que existirán funciones propias y valores propios correspondientes a este operador? ¿Ser hermitiano implica que, de existir funciones propias correspondientes a este operador, formarán un conjunto completo y ortonormal? ¿Que cualquier función de onda se puede expandir en términos de estas funciones propias? ¿Cuánto se oculta en la palabra "hermitiano"?
Hay bastante información muy importante escondida en el término hermitiano.
Para un operador en un espacio de Hilbert de dimensión finita , se puede demostrar que existe una base ortonormal para el espacio de Hilbert que consta de vectores propios del operador . Además, se puede demostrar que los valores propios correspondientes a estos vectores propios son todos reales. Este resultado es el teorema espectral de dimensión finita . El hecho de que los valores propios de los operadores hermitianos sean reales es de crucial importancia en la mecánica cuántica, ya que se supone que los valores propios de los observables representan cantidades físicamente medibles con valores reales.
Cuando el espacio de Hilbert es de dimensión infinita, entonces el resultado análogo, que también se llama teorema espectral, es más difícil de probar y hay que hacer más suposiciones técnicas debido a problemas que surgen con respecto a los dominios de definición de operadores y los llamados operadores ilimitados, etc. En particular, se necesita la noción de un operador autoadjunto que es la extensión de dimensión infinita de hermitian y se reduce a hermitian en el caso de dimensión finita. Te animo a que mires el artículo wiki sobre el teorema espectral que vinculé para obtener más información.
Además, para tu información, la rama de las matemáticas que se ocupa del caso de dimensión infinita es el análisis funcional .
Emilio Pisanty