¿No todos los operadores autoadjuntos son observables?

El apéndice de Mackey habla sobre las reglas de superselección y, de hecho, la superselección es el fenómeno en el que hay operadores autoadjuntos que no son observables. Si esto es obvio o no depende de cómo se defina "superselección".

La definición estándar sería que el espacio de Hilbert$H$se divide en la suma directa$H_1\oplus H_2$tal que para todos$\lvert\psi\rangle\in H_1, \lvert \phi\rangle\in H_2$y todos los observables$A$tenemos eso$\langle \psi \vert A\vert \phi \rangle = 0$, lo que implica que$AH_1 \subset H_1,AH_2\subset H_2$para todos los observables, pero que claramente no es cierto para todos los operadores autoadjuntos en$H_1\oplus H_2$.

Un ejemplo fácil (aunque algo artificial) de un sistema superseleccionado es cuando tomamos$H_1$ser el espacio de estado de un bosón y$H_2$el espacio de estado de un fermión, vea también esta respuesta mía . Otros ejemplos pueden surgir de teorías con ruptura de simetría espontánea donde los estados que pertenecen a diferentes VEV no pueden interactuar entre sí y formar sectores de superselección.

En general, por razones físicas, no todos los operadores autoadjuntos son observables. Discutiré el problema al nivel de las álgebras de von Neumann que son (quizás inconscientemente) más familiares para los físicos. Hay otras dos posibilidades que conducen a respuestas articuladas un poco diferentes:$C^*$-Teoría de álgebras y celosías de proposiciones elementales .

Comencemos por observar que los operadores autoadjuntos de un sistema cuántico$S$no son suficientes para agotar el conjunto de operadores útiles en una descripción de$S$sí mismo. Por ejemplo, si$A$es un observable$U_a = e^{-iaA}$, dónde$a\in \mathbb R$, define un grupo de simetrías continuas asociadas a ese observable y este operador (para$a \in \mathbb R$) no es autoadjunto.

La clase de operadores útiles se construye de esta manera. Primero observe que los observables siempre se pueden reducir a una clase más grande de operadores acotados : si$A$es ilimitado (es decir, el conjunto de valores alcanzados que definen su espectro $\sigma(A)$es un subconjunto ilimitado de$\mathbb R$) la clase$\{A_n\}_{n \in \mathbb N}$de operadores autoadjuntos acotados

$$A_n = \int_{(-n,n] \cap \sigma(A)} a dP^{(A)}(a)\tag{1}$$ dónde $P^{(A)}$es la medida espectral de $A$, engloba toda la información de $A$sí mismo. En particular, si $\psi \in D(A)$después $$A\psi = \lim_{n\to +\infty}A_n \psi\tag{2}$$ y $$\cup_{n \in \mathbb R} \sigma(A_n) = \sigma(A) \:\:\: \mbox{up to the possible element $0 \in \sigma(A)$}$$ (2) dice que la clase de operadores acotados $A_n$construcciones $A$en la topología de operador fuerte . De esta manera, cada observable se deconstruye en un conjunto de observables acotados. A continuación, se consideran los productos de todas las combinaciones complejas posibles de observables acotados, incluidas combinaciones infinitas en la topología de operador fuerte. El conjunto de operadores obtenido $R_S$incluye todos los operadores concebibles útiles para un sistema cuántico extraído de observables (incluidos los propios observables acotados que coinciden con los elementos autoadjuntos de $R_S$, sus medidas espectrales y las simetrías continuas generadas a partir de ellas).

Esta clase de operadores$R_S$se conoce como el álgebra de von Neumann (o$W^*$álgebra) de un sistema cuántico dado$S$.

La pregunta natural, que en espacios complejos de Hilbert es equivalente a su pregunta inicial, dice lo siguiente.

Para un sistema cuántico descrito en el espacio de Hilbert$H$, lo hace$R_S = B(H)$?

dónde$B(H)$es el álgebra de von Neumann más grande en$H$que consta de todos los operadores acotados$A : H \to H$.

(De hecho, si todos los operadores autoadjuntos son observables, entonces$R_S$incluye todos los operadores autoadjuntos acotados y sus combinaciones complejas y, por lo tanto, incluye la totalidad$B(H)$porque todo operador acotado es una combinación lineal compleja de un par de operadores autoadjuntos acotados. Si, al revés ,$R_S = B(H)$, entonces todo operador autoadjunto es un observable ya que, por definición, todos los operadores autoadjuntos en$R_S$son los observables de$S$.)

La física decide en realidad.

Hay dos posibilidades independientes cuando$R_S \subsetneq B(H)$.

$\:\:\:\:$(A) Presencia de reglas de superselección abeliana .

Esto significa que hay proyectores ortogonales$P_k$en$R_S$tal que

(i)$P_k$viaja con cada elemento de$R_S$,

(ii)$P_k \perp P_h$si$k \neq h$,

(iii)$\oplus_k P_k =I$.

Los espacios de proyección$H_k = P_k(H)$se denominan sectores de superselección y$H$es la suma ortogonal de ellos$H= \oplus_k H_k$debido a (ii) y (iii).

En este caso, evidentemente$R_S \subsetneq B(H)$porque, salvo casos triviales,$B(H)$incluye algunos operadores que no viajan con algunos$P_k$.

Desde el punto de vista físico, esto significa que, por ejemplo, no hay forma de distinguir un estado vectorial

$$\psi = \sum_k c_k\psi_k\tag{1}$$ dónde $\psi_k \in H_k$son vectores unitarios, y la mezcla $$\rho_\psi = \sum_k |c_k|^2|\psi_k\rangle \langle \psi_k|$$ Usando el hecho de que $A^\dagger=A \in R_S$viaja con cada $P_k$se prueba fácilmente, por ejemplo, que $$tr(\rho_\psi A) = \langle \psi|A\psi \rangle$$ pero el resultado se extiende a las probabilidades de resultados y así sucesivamente. Otra forma de ilustrar físicamente este fenómeno es decir que

no hay superposición coherente de estados puros de diferentes sectores de superselección$H_k$es posible

Como ejemplo típico, considere la carga eléctrica observable $Q$para un sistema cuántico cargado eléctricamente (también un campo cuántico).$Q$tiene un espectro discreto, en general ilimitado, y la regla de superselección de la carga eléctrica establece que todos los observables conmutan con él. Inmediatamente implica que los espacios propios$H_q$de$Q$son sectores de superselección y que tiene lugar una regla de superselección abeliana. Todo eso equivale a afirmar que no se permite la superposición coherente de estados con distinta carga.

Con respecto a la pregunta inicial, considere, por ejemplo, dos valores diferentes de la carga$q$y$q'$y vectores propios asociados$|q\rangle$y$|q'\rangle$. El operador autoadjunto

$$A = |q\rangle\langle q'| + |q'\rangle\langle q|$$ no define un observable porque no conmuta con el proyector $P_q$sobre $H_q$.

Reglas de superselección similares y bien conocidas en la física cuántica son la regla de superselección de la masa (regla de superselección de Bargmann) para sistemas cuánticos no relativistas y la regla de superselección del momento angular (valores enteros frente a valores semienteros).

$\:\:\:\:$(B) La teoría admite un grupo de norma (no abeliano) .

Esto significa que hay una clase de observables$R'_S$, generalmente llamado el conmutador de$R_S$, cuyos elementos conmutan con todos los elementos de$R_S$pero algunos elementos del conmutador no están incluidos en$R_S$sí mismo, como sucede con (A) en su lugar. Este es el caso, en particular, si el conmutante$R_S'$incluye un par de operadores que no viajan al trabajo al menos. Atengámonos a este caso (que es el único posible en realidad debido al "teorema del doble conmutante"). Es fácil probar que los elementos unitarios de$R_S'$dar lugar a un grupo unitario no abeliano. En otras palabras, todos los observables de$R_S$debe conmutar con operadores unitarios formando un grupo no abeliano, el grupo de norma (no abeliano) de la teoría.

Un ejemplo consiste en la descripción de los quarks: todos sus observables deben conmutar con una representación unitaria de$SU(3)$(color).

Como ejemplo de operadores autoadjuntos que no son observables en este caso, considere los generadores autoadjuntos de los correspondientes$SU(3)$representación: no pueden conmutar con la representación (a menos que sean triviales), por lo que no pueden interpretarse como observables de quarks porque todos los observables conmutan con la representación.

(Discutí estos temas en mi libro de Springer de 2013 sobre "Teoría espectral y QM" y en la próxima edición impresa de 2018 muy ampliada que incluye una discusión aún más amplia).

ANEXO . Debe quedar claro que en ambos casos, donde no todos los operadores autoadjuntos son observables, la correspondencia uno a uno

estados puros$\leftrightarrow$vectores unitarios hasta fases

falla dramáticamente.

Se proporcionó un ejemplo en el caso de las reglas de superselección abeliana. Note que, refiriéndose a ese ejemplo$\psi$,$\rho_\psi$pero también (comparando con (1))

$$\psi' = \sum_k e^{i\theta_k}c_k \psi_k$$ son físicamente indistinguibles. En caso de presencia de un grupo de calibre $\psi$y $U\psi$, dónde $U$es un operador unitario del grupo calibre, determine el mismo estado.

Otra consecuencia físicamente importante de la presencia de un grupo de indicadores es que no puede existir un conjunto máximo de observables conmutables. La prueba es un poco técnica y la omito. En la práctica, no podemos preparar el sistema cuántico en un estado preferido mediante una secuencia selectiva de medidas de observables compatibles (con espectro puntual puro).

Un operador autoadjunto es un observable si construyes un dispositivo para medir sus valores propios. Cada vez que se prepara un sistema en un vector propio dado, su dispositivo dará el mismo resultado. Puede hacerlo localmente si está cerca del sistema o lejos de él.

Los problemas aparecen cuando estás en un espacio-tiempo curvo. Puede haber un horizonte entre usted y el sistema. Como no tienes acceso a todos los grados de libertad, tienes que rastrear los grados de libertad lejanos. un vector propio puro aparecerá como una mezcla y no dará siempre el mismo resultado.

Un número de ocupación es un operador adjunto propio. Si el sistema preparado es el vacío del espacio-tiempo de Minkowski, un observador eternamente acelerado lo verá como un baño termal a una temperatura dada. para él, el número de operación medido nunca es cero.

Y, por supuesto, nadie podrá medir el número de ocupación de fermiones con un espín dado en un lugar detrás del horizonte de un BH.