Significado intuitivo del formalismo del espacio de Hilbert

ACTUALIZACIÓN : las ideas y los significados conceptuales defendidos a continuación en esta respuesta se detallan y se desarrollan técnicamente, por ejemplo, en estos maravillosos artículos:

• fuchs; Peres : la mecánica cuántica no necesita interpretación , Physics Today (2000), vol. 53, número 3, pág. 70.
• Englert - Sobre la teoría cuántica , Eur. física JD (2013) 67: 238.
• Duvenhage : la naturaleza de la información en la mecánica cuántica , encontrado. física 2002, 32 1399-1417.
• Bub : la mecánica cuántica se trata de información cuántica , encontrada. física 2005, 35-4, pág. 541-560.
• Rovelli - Mecánica Cuántica Relacional , Int. J. de Theor. física 35 (1996) 1637.
• Grinbaum - Sobre la noción de reconstrucción de la teoría cuántica .
• Clifton; Bub; Halvorson : caracterización de la teoría cuántica en términos de restricciones de la teoría de la información , encontrado. física (2003) 33, 1561-1591.

Para obtener intuiciones e ideas sobre el significado del formalismo de la mecánica cuántica, le recomiendo que lea atentamente los siguientes maravillosos libros de referencia (especialmente Feynman sobre la intuición y los ejemplos, Isham sobre el significado de los fundamentos matemáticos y Strocchi o Blank et al. sobre la$C^*$-enfoque de álgebras):

• Griffiths - " Consistent Quantum Theory " (¡disponible gratuitamente!).
• Isham - " Conferencias sobre teoría cuántica, fundamentos matemáticos y estructurales ".
• Strocchi - " Introducción a la estructura matemática de la mecánica cuántica: un curso breve para matemáticos ".
• Takhtajan - " Mecánica cuántica para matemáticos ".
• Vacío; Exner; Havlícek - " Operadores espaciales de Hilbert en física cuántica ".

Como decía Feynman (algo parecido): “ Si crees que entiendes la mecánica cuántica entonces no la entiendes en absolutoformulación del operador s (mecánica de matrices) y la formulación del operador de densidad de estados (en la imagen de Heisenberg). Como sus diferentes puntos están muy entrelazados, intentaré explicar un poco de todo de una vez.

En la mecánica clásica, se miden cantidades empíricas como la posición y la velocidad (por lo tanto, el momento lineal) de cuerpos y partículas idealizadas, definiendo así un espacio de configuración y un espacio de fase de todos los estados físicos posibles. Cualquier otra propiedad observable debe ser una función de los parámetros intrínsecos del sistema (generalmente constantes como masa en reposo, carga...) y esas variables dinámicas, por lo que el álgebra de los observables clásicos (como la energía) es el anillo conmutativo de funciones típicas en el espacio de fases. . Dada una medida, uno restringe el sistema a una región localizada del espacio de fase dentro de la precisión instrumental disponible, obteniendo así las condiciones iniciales del sistema de intereses (donde el resto del universo generalmente se ignora o se pone en una acción externa efectiva/estadística). sobre los grados de libertad relevantes).

La mecánica cuántica es la constatación experimental de que, a nivel microscópico, los grados de libertad de cualquier sistema se comportan de manera diferente. Los observables clásicos, como la posición y el momento lineal, surgen como un resultado estadístico a gran escala de sus contrapartes mecánicas cuánticas. Concretamente, el espacio de fase no es conmutativo (límite de incertidumbre de Heisenberg), por lo que la posición y el momento clásicos definen un "trozo cuántico" mínimo de espacio de fase. Así, como funciones de estos observables básicos no conmutativos, el resto de observables cuánticos (con contrapartida clásica) deben proceder de operadores genéricamente no conmutativos, y estos actúan de forma natural sobre los espacios de Hilbert.

Los puntos 1 y 3 tienen realmente la misma justificación. Se supone que cualquier experimento real, es decir, cualquier observación empírica realizada por cualquier instrumento y leída por cualquier ser consciente, mide números reales: la posición se ubica por distancias a los sistemas de referencia, el tiempo se lleva un registro con movimientos periódicos también, por lo que la velocidad y luego el impulso se reducen. a las medidas de movimiento al final (las masas se miden por ejemplo con la distancia de estiramiento de un resorte por el cual se cuelga un objeto). Entonces , los observables deben dar valores reales al momento de la medición , que debido a los errores de precisión en realidad se aproximan a los racionales, o incluso a los reales computables, en la práctica. Ahora bien, se puede pensar en un observable como el conjunto de valores posibles del mismo, es decir, el conjunto de diferentes estados posibles de una propiedad medible. Si nuestros observables mecánicos cuánticos deben ser en general operadores no conmutativos y estar totalmente especificados por un espectro de valores reales, entonces la elección natural es considerar operadores autoadjuntos ya que los operadores tienen un espectro de valores propios reales en una base adecuada si y solo si son auto-adjunto. Entonces, la mecánica cuántica es "solo" la transición a operadores que no son simultáneamente diagonales en la misma base. Este es el significado del teorema de la descomposición espectral para todo el formalismo: un observable cuántico es simplemente el conjunto de sus posibles valores empíricos clásicos codificados como un operador por una descomposición espectral con estos valores como valores propios. Por lo tanto, todos los observables cuánticos deben ser operadores autoadjuntos, manifestándose la cuantidad por la no conmutatividad general de ellos. Se dice que los operadores autoadjuntos que son diagonalizables en la misma base propia son "compatibles", y lo son si y solo si conmutan entre sí (por eso los conmutadores$[A,B]$juegan un papel tan importante en el formalismo). El hecho de que existan conjuntos de operadores que no conmutan, como la posición y el momento lineal, fue llamado "complementariedad" por Bohr.

Los puntos 2 y 4 son solo la realización matemática de toda la discusión anterior. Dado que los observables clásicos forman un conmutativo$C^*$-álgebra y observables cuánticos no conmutativos$C^*$-álgebra, según el teorema de Gel'fand-Naimark cualquiera de estos últimos es isométricamente isomorfo a un álgebra de operadores lineales (acotados) en algún espacio de Hilbert. Esta es una realización práctica del concepto abstracto de observables como conjuntos de valores y que tienen relaciones algebraicas generales entre ellos, es decir, una especie de representación calculada. Una vez introducido el espacio de Hilbert, la construcción de Gel'fand-Naimark-Segal muestra que los estados puros corresponden entonces a rayos en el espacio de Hilbert (es decir, a vectores/punto del espacio proyectivo de Hilbert). Esto corresponde al caso cuántico de la situación clásica donde la versión abeliana de Gel'fand-Naimark establece que todo conmutativo$C^*$-el álgebra (con la unidad) es isométricamente isomorfa al álgebra de funciones continuas para algún espacio compacto de Hausdorff, recuperando así el espacio fase. Esto establece la cinemática de la teoría, después de lo cual la dinámica puede introducirse y estudiarse mediante estados en evolución con operadores fijos (imagen de Schrödinger) u operadores en evolución con estados fijos (imagen de Heisenberg), y estos son duales entre sí. Desde el punto de vista de la física estadística, cuando un sistema se encuentra en un estado determinado, lo único que se mide realmente acerca de un observable es su valor esperado con respecto a la distribución de probabilidad de ese estado; por lo tanto, un estado puede verse como un funcional lineal positivo en el$C^*$-álgebra de observables (que no debe confundirse con los funcionales dados por los "bras" de Dirac discutidos más adelante), estableciendo la dualidad entre estados y operadores: un "estado" es una distribución de probabilidad en el álgebra, determinando la probabilidad de valores posibles de cualquier observable en la siguiente medida, ahora por el teorema de Gleason cualquier distribución implica la existencia de un operador de densidad que representa un estado puro (o más generalmente mixto) del sistema. Por lo tanto, puede ver un estado puro como un vector propio de un conjunto completo de observables compatibles, o como un funcional lineal positivo en su álgebra. Esto es muy profundo e importante porque quita cualquier peso ontológico a los vectores de estado más allá del mero hecho de ser "el conjunto de probabilidades de una posible actualización de valores".

Punto 4ahora se puede entender naturalmente. Al medir los observables, los instrumentos están localizando "dónde en el espectro de valores propios" el sistema tiene cada propiedad. Si medir un observable en particular no tiene efecto sobre el valor de otro, entonces son compatibles, y al agotar las mediciones de un conjunto completo de observables compatibles para un sistema, uno especifica el estado del sistema en ese momento: dado que nuestro sistema es caracterizado por las propiedades que observamos, propiedades particulares definidas para cada una de sus características caracteriza el sistema completamente. Dado que al medir observables compatibles estamos seleccionando valores propios en el espectro de los operadores, en realidad estamos proyectando desde el espacio de Hilbert completo hasta un vector particular etiquetado por los valores propios, como un conjunto completo de operadores autoadjuntos conmutantes definen una base propia común. Por lo tanto, la "cadena de datos de valores observados" es nuestro estado observado medido, por lo que uno piensa en el vector (ket$|\psi\rangle$) como el estado purodel sistema. Dado que las predicciones de la teoría no dependen de la norma del vector, el estado del sistema es en realidad un rayo, es decir, un vector en el espacio proyectivo de Hilbert. (De hecho, dado que esto debe hacerse también para el espectro continuo de operadores autoadjuntos ilimitados, el formalismo correcto es el de los espacios de Hilbert amañados). Por lo tanto, cada base vectorial (rayo) del espacio de Hilbert corresponde a una elección de qué conjunto de observables compatibles se está midiendo, siendo cada vector de cada base un estado posible para obtener en las observaciones, es decir, una posible matriz de valores (eigen) de nuestras propiedades elegidas para medir y caracterizar el sistema. Entre observaciones, el sistema aislado evoluciona unitariamente, por lo que el estado "oculto" del sistema entra en una superposición general de vectores propios en cualquier base propia elegida.$\langle\psi|$que son los funcionales lineales sobre los vectores del espacio de Hilbert. No confunda los estados vectoriales de Hilbert, sus duales vectoriales como estados finales y el estado visto como un funcional lineal positivo en el álgebra de observables: los estados medibles puros$|\psi\rangle$están dados por estados propios en una base propia común de operadores autoadjuntos conmutantes y estados generales como una superposición de aquellos; ahora que la mayor parte de la predicción del formalismo está dada por los productos escalares de Hilbert de estados vectoriales,$(|\psi\rangle,\, |\chi\rangle)$, el teorema de representación de Riesz garantiza que existe un funcional$\phi_\psi:\mathcal H\rightarrow\mathcal C$tal que$\langle\psi|\chi\rangle :=\phi_\psi(|\chi\rangle)=(|\psi\rangle,\, |\chi\rangle)$, por lo que Dirac reescribió todo el formalismo en términos de sujetadores$\langle\chi|$y kets$|\chi\rangle$para denotar cosas como la amplitud de probabilidad para observar el estado$|\psi\rangle$después de haber observado el estado$|\chi\rangle$, asi que:$\mathcal P(\chi\rightarrow\psi)=|\langle\psi|\chi\rangle |^2$. Como las probabilidades son productos escalares al cuadrado, si$\chi$o$\psi$son superposiciones lineales de otros estados propios, la probabilidad de transición no es la suma de las posibilidades individuales sino que también existen términos cruzados que son responsables de los efectos cuánticos de interferencia y de la dualidad onda-partícula. Entonces puede pensar en los sujetadores, los funcionales, como "estados finales" en un cálculo.

El hecho experimental fundamental es que hay propiedades que no se pueden medir simultáneamente (ni siquiera en condiciones ideales perfectas). Si se mide la posición de un átomo, se obtiene una región en$\mathbb R^3$más localizado/pequeño cuanto más preciso es el dispositivo de medición, pero luego la medición de su momento lineal se extiende en tamaño sobre los valores posibles. Por supuesto, cada valor medido es lo más preciso y definido posible, pero si repite la medición de posición después de la de momento, el valor anterior no se conserva y la posición toma aleatoriamente un nuevo valor dentro de su espectro, con una distribución probabilística de dispersión/varianza. más grande cuanto más pequeña es la incertidumbre en el impulso. Lo que está sucediendo no es una magia misteriosa, sino el hecho de que los operadores de posición y momento no se conmutan, por lo que no tienen una base propia común, por lo que el sistema no puede estar al mismo tiempo en una posición definida y un momento definido. Es un viejo concepto filosófico erróneo que el acto de observar al perturbar el sistema altera el valor y hace que las mediciones simultáneas sean imposibles. La complementariedad es una de las características centrales del mundo cuántico, independientemente de quién o qué haga una medición. Dado que "un estado" es un conjunto de propiedades definidas de nuestro sistema, no tiene sentido hablar de observables incompatibles definidos simultáneamente, en el mismo sentido que no tiene sentido hablar sobre el color de una nota musical (dejando de lado la sinestesia) . La confusión aparece por intentar conceptualizar el mundo cuántico dentro del realismo clásico (el empirismo estructural es mucho mejor en este sentido). Después de que se hizo la observación, si se permite que el sistema evolucione de nuevo en forma aislada, la teoría predice la probabilidad de observar otro estado propio posible, tal vez de otra base, en un momento posterior. El formalismo hace esto mediante la evolución del estado propio observado inicial en una superposición lineal general por la ecuación de Schrödinger, por lo que en un momento posterior los componentes complejos del vector evolucionado sobre cada estado propio de cualquier base elegida han cambiado, con el cuadrado del módulo de cada componente siendo la probabilidad de observar los valores propios de ese vector propio. Esta es la imagen de Schrödinger, que es engañosa filosóficamente (¡como afirmó el propio Dirac!), desde una postura empirista, la imagen más significativa es la de Heisenberg: el estado es solo el estado observado, el ket caracterizado por la cadena de valores (eigen) observados de un conjunto elegido de observables compatibles; cuando el sistema está aislado, sus observables/operadores evolucionan unitariamente, el estado no cambia hasta que se vuelve a observar, pero la nueva observación da aleatoriamente nuevos valores a medida que los operadores han cambiado. Por lo tanto, todo el formalismo se puede convertir en álgebras de operadores, con observables y estados caracterizados por tipos específicos de operadores (ya que los estados mismos pueden verse como las proyecciones de la descomposición espectral en una base propia común, por lo que si solo mide algunos de los operadores compatibles observables, su estado es un proyector no en un vector propio sino en un subespacio propio común de su conjunto elegido de observables compatibles).

RESUMEN: Los sistemas se describen completamente por las propiedades observables que tienen, las cuales pueden no estar definidas simultáneamente. Esto se debe a que tener propiedades definidas de cierto tipo hace imposible tener propiedades definidas de otro tipo, por lo que observar algunos aspectos de un sistema destruye/"indefine" las propiedades anteriores que son incompatibles con las nuevas. Esto obliga al álgebra de observables a ser no conmutativa: el orden en que se miden los observables en sucesión no necesariamente conmuta. Dado que cualquier medida física es numérica, en general de valor real, el álgebra no conmutativa encaja muy bien entre los operadores autoadjuntos, ya que son los únicos unitariamente equivalentes a un espectro real. Por lo tanto, determinamos experimentalmente qué conjuntos de observables conmutan, por lo que podemos hablar de conjuntos completos de operadores compatibles, que definen completamente el estado del sistema mediante una cadena de valores propios (los valores reales de los parámetros/propiedades medidos). Tal conjunto define una base de un espacio de Hilbert sobre el cual actúan los operadores, por lo que diferentes conjuntos de operadores compatibles definen diferentes bases, de modo que si nuestro sistema está dado por un vector propio común de una base, generalmente será una superposición lineal de los vectores propios de otra base; dado que los valores propios son las propiedades observables del sistema, la superposición en la otra base no tiene valores propios definidos de manera única y, por lo tanto, esas propiedades del sistema en ese estado no están bien definidas en ese momento. Dado que los estados propios comunes pueden ser dados por operadores de proyección que se proyectan sobre los subespacios propios sucesivos, un estado (puro) del sistema puede ser dado ya sea por un rayo, por un operador de proyección adecuado en el espacio de Hilbert, o por un funcional lineal positivo en el no conmutativo$C^*$-álgebra de observables cuánticos. Uno puede trabajar solo con álgebras de operadores y caracterizar cuáles son observables y cuáles son estados e interrelacionarlos mediante evaluaciones lineales para obtener las predicciones de la teoría (principalmente valores esperados).

Esta es una versión aproximada del resumen de la respuesta completa que publiqué en math.stackexchange, donde se discuten más detalles en una larga digresión, en particular, las motivaciones matemáticas para sus puntos 1, 3 y 4. (Cualquier lector interesado en más Las explicaciones y una lista actualizada más larga de referencias deben consultar esa otra respuesta en Math.SE). Le recomiendo que lea atentamente las siguientes maravillosas referencias:

• Feynmann; Leighton; Sands - " Lecturas Feynman sobre Física Vol.III. Mecánica Cuántica ".
• Griffiths - " Consistent Quantum Theory " (¡disponible gratuitamente!).
• Isham - " Conferencias sobre teoría cuántica, fundamentos matemáticos y estructurales ".

Los sistemas se describen completamente por las propiedades observables que tienen (o los grados de libertad disponibles para la medición o elegidos para ser descritos), propiedades que pueden no tener valores definidos simultáneamente. Esto se debe a que observar algunos aspectos de un sistema puede destruir/"indefinir" algunas de las propiedades anteriores, precisamente aquellas que eran incompatibles con las nuevas. Por ejemplo, componer el aparato de Stern-Gerlach en sucesión en diferentes ejes, le permite medir los componentes de giro$S_z$y$S_x$, pero después del segundo filtro, una nueva medición del primero volverá a ser aleatoria, es decir, la propiedad observable "habiendo definido el espín en la dirección __" no está definida simultáneamente para direcciones independientes: medir una hace que el sistema pierda su valor definido en la otra . Otro ejemplo es la posición y el momento lineal, que eran los grados de libertad conmutativos del espacio de fase clásico. Experimentos de mecánica cuántica, muy relacionados con la originalmente llamada "dualidad onda-partícula", determinaron que las funciones de onda de posición y momento (que miden las distribuciones de amplitud de probabilidad de las posibles medidas) estaban relacionadas entre sí por una transformación de Fourier, lo que implicaba que su conmutador era$[\hat x,\hat p_x]=i\hbar$, por lo que se convirtieron en variables no conmutativas mejor estudiadas bajo álgebras de operadores.

Dado que, clásicamente, todos los observables son funciones en el espacio de fase, esto obliga al álgebra de observables generales a no ser conmutativa: el orden en que se miden los observables en sucesión puede no conmutar. Dado que cualquier medida física es numérica, en general de valor real, el álgebra no conmutativa encaja muy bien dentro de los operadores autoadjuntos en los espacios de Hilbert, porque estos son los únicos operadores unitariamente equivalentes a los operadores diagonales multiplicativos del espectro real. Dado que podemos considerar una propiedad observable simplemente como el conjunto de sus valores posibles, trabajar con álgebras de operadores permite codificar diferentes propiedades/observables en el álgebra mutua que definen. Por lo tanto, determinamos experimentalmente qué conjuntos de observables conmutan, por lo que podemos hablar de conjuntos completos de operadores compatibles, que definen completamente el estado del sistema mediante una cadena de datos de valores propios (los valores reales de los parámetros/propiedades medidos). Tales posibles cadenas de valores propios para cada operador en un conjunto compatible definen un "estado del sistema en un momento determinado", pero también definen vectores base de un espacio de Hilbert sobre el que actúan los operadores; por lo tanto, diferentes conjuntos de este tipo definen diferentes bases, de modo que si nuestro sistema está dado por un vector propio común de una base, será generalmente una superposición lineal de los vectores propios de otra base, produciendo términos cruzados que interfieren en las probabilidades de transición de un estado a otro. . Experimentalmente se encuentra que este enfoque es el correcto ya que, además de la complementariedad, la otra característica cuántica importante es la superposición lineal de estados. Dado que los valores propios son las propiedades observables del sistema, la superposición en otra base no tiene valores propios definidos de manera única y, por lo tanto, esas otras propiedades del sistema en ese estado no están bien definidas en ese momento. Dado que los operadores de proyección que se proyectan en los subespacios propios sucesivos pueden dar estados propios comunes, un estado puro del sistema puede estar dado por un rayo del espacio proyectivo de Hilbert o por un operador de proyección adecuado: cada operador de un conjunto completo de conmutación se expande por el teorema espectral como una suma de operadores de proyección ponderados por sus respectivos valores propios, donde los proyectores se proyectan sobre cada vector propio común, y esa es la forma en que los operadores codifican tanto la lista de posibles valores medibles de una propiedad como su álgebra mutua. Después, uno puede formalizar la mecánica cuántica solo con álgebras de operadores (donde entran cosas como C*-álgebras y Gel'fand-Naimark) y caracterizar qué operadores son observables y cuáles son estados puros, o estados mixtos si se incluyen incertidumbres en la preparación de los estados iniciales. . En este sentido, se recupera la mecánica de imágenes/matrices de Heisenberg, donde el estado era simplemente la lista de valores observados para un conjunto elegido de dispositivos de medición compatibles, y los observables evolucionaban con el tiempo entre mediciones, por lo que se obtenía probabilísticamente un nuevo conjunto de valores para tal vez un conjunto diferente de medidas compatibles. La complementariedad y la incertidumbre fueron una consecuencia matemática directa de la no conmutatividad, y la dualidad interferencia/onda-partícula un subproducto directo del carácter lineal de la evolución unitaria entre observaciones.

RESUMEN:Por lo tanto, los observables vienen dados por álgebras de operadores autoadjuntos porque estos son los que tienen espectros reales correspondientes a los posibles valores empíricos reales. Los subconjuntos de operadores de conmutación máxima son simultáneamente diagonalizables, es decir, representan observables compatibles que se pueden medir al mismo tiempo, por lo que el estado del sistema en cada observación se caracteriza por dicha lista de valores propios. Esto define un espacio de Hilbert por superposición lineal sobre la que actúan los operadores: un observable tiene un valor definido si y solo si el estado está en uno de sus vectores propios. Dado un estado propio en una base elegida, la evolución unitaria en la imagen de Schrödinger mueve el vector en el espacio de Hilbert, por lo que su componente proyectado a cualquier otro vector de base posible cambia, donde el módulo al cuadrado de esos componentes complejos del estado actual del vector sobre cualquier otro vector da la probabilidad de observar el segundo conjunto de valores propios en nuestras próximas mediciones dado el primer conjunto en nuestra medición inicial. Dado que estos componentes se dan en términos de productos escalares$(|\chi\rangle,\, |\psi\rangle)$, por el teorema de Riesz se pueden usar funcionales lineales$\langle\chi|$para actuar sobre vectores y dar las amplitudes de transición deseadas; dado que estos funcionales también forman un espacio lineal (dual), uno puede pensar en ellos como posibles estados finales en nuestros cálculos. Sin embargo, los estados físicos son solo una lista empírica de valores para cada grado de libertad observado del sistema, se deben tener en cuenta consideraciones metafísicas muy cuidadosas antes de dar significado a los estados de superposición intermedios no observados: correlacionan estadísticamente los estados observados en diferentes momentos pero el sistema no puede decirse que tenga una superposición de sus propiedades. Como afirmó Dirac: la imagen de Heisenberg es la correcta [empírica] (¡nadie observa nunca superposiciones!).

Como dijo Asher Peres: " Los experimentos ocurren en un laboratorio, no en un espacio de Hilbert " y " los experimentos no realizados no tienen resultados ". Los problemas de interpretación ontológica y epistemológica del formalismo surgen cuando se intenta pensar en él más allá de una postura empirista, atribuyendo realidad a partes del formalismo (por ejemplo, superposición de gatos) que no se pueden observar experimentalmente (¡¿todavía?!) más allá de lo estructural/correlacional. nivel. (Si está interesado en estos temas, le recomendaría leer artículos de Carlo Rovelli sobre mecánica cuántica relacional y cualquier cosa sobre el formalismo de historias consistentes/coherentes, además del libro de Isham que figura en la parte superior, para contrastar las referencias ortodoxas estándar con las más cautelosas). entendimientos).