¿Qué implica exactamente la necesidad de la mecánica cuántica de operadores autoadjuntos y no solo simétricos? [duplicar]

En QM, un observable de valor real$A$está matemáticamente representado por una medida de valor de proyector sobre$\mathbb{R}$,$P^{(A)}$, es decir, si$E$es un subconjunto de Borel de la recta real, entonces$P^{(A)}(E)$es un proyector que representa la proposición "el resultado de medir$A$cae en$E$". En principio, eso es todo lo que necesita para representar, matemáticamente, observables en QM (estoy asumiendo la formulación fundamental de la teoría a través de la red no distributiva de proposiciones).

Pero, por el Teorema Espectral para operadores autoadjuntos ilimitados (probado por von Neumann), sabemos que dado un observable$A$representado por la medida del valor del proyector$P^{(A)}$, hay un operador autoadjunto, también llamado$A$, tal que la siguiente descomposición es única

El espectro$\sigma(A)\subset\mathbb{R}$coincide con el apoyo de$P^{(A)}$.

Así es como y por qué obtenemos la correspondencia uno a uno habitual entre los observables y los operadores autoadjuntos en QM.

La unitaridad del operador de evolución temporal es exactamente el punto:
el teorema de Stone (ver, por ejemplo, Reed, Simon: Teoremas VIII.7, VIII.8) nos dice

• Si$A$es autoadjunto, se cumple el teorema espectral. Esto nos da un cálculo funcional que permite definir$U(t) = e^{itA}$en primer lugar.
• Un tal definido$U(t)$es un grupo unitario fuertemente continuo.
• Si$U(t)$es un grupo unitario fuertemente continuo, entonces existe un auto-adjunto$A$tal que$U(t) = e^{itA}$.

Editar: esto solo nos dice por qué el hamiltoniano debería ser autoadjunto. La respuesta de QuantumLattice es mejor.