La pregunta es sobre:
(1) si dar un Lagrangiano es suficiente para (únicamente) definir bien una teoría cuántica hamiltoniana con un espacio de Hilbert?
La respuesta debería ser Sí o No.
Si es así, entonces supongo que uno puede escribir cualquiera de sus funciones de estado en el espacio de Hilbert, con un hamiltoniano , satisface:
Entonces, si la situación cambia si se reemplaza el Lagrangiano a una acción o una integral de trayectoria o función de partición , es decir
(2) si esto , o ¿Hasta qué nivel (únicamente) define bien una teoría cuántica hamiltoniana con un espacio de Hilbert? ¿O no pueden definirlo bien todavía?
(3) La pregunta adicional es si un lagrangiano es suficiente para definir bien la teoría cuántica hamiltoniana con un espacio de Hilbert en la red discreta . De este documento arXiv 1305.1045 , es obvio que incluso si tenemos un Lagrangiano para el modelo estándar, NO es suficiente para definir bien una teoría cuántica hamiltoniana con un espacio de Hilbert en la red SIN PERTURBATIVAMENTE .
[comentarios]
Será importante explicar por qué esto es así. Puede que me equivoque, pero tuve la impresión de leer un comentario de publicación sobre las preguntas de un experto en Physics Stackexchange (¿Dr. Luboš Motl?) Que afirma que conocer Lagrangian/acción se trata de conocer el sistema físico. Lo siento si cometí un error aquí.
Pero mis interacciones con otros expertos en el campo de la materia condensada, a menudo afirman que el lagrangiano aún no es suficiente. Se necesita la cuantización, el espacio hamiltoniano y de Hilbert, etc.
Será bueno tocar los temas de la teoría de calibre , si dando una teoría de calibre Lagrangiana se puede definir una teoría cuántica hamiltoniana con un espacio de Hilbert. Como yo se el 2+1D Teoría de calibre escrita como 2+1D U(1)xU(1) La teoría de Chern-Simons se analiza en esta publicación . En ese sentido, dar una teoría de Chern-Simons U(1)xU(1) puede significar Teoría de calibre (con discreta simetría) o algo más (dos copias de la simetría U(1)).
Gracias.
Puedo responder (1) y (2). La respuesta es no. Pasar de la mecánica clásica a la cuántica requiere, en general, añadir más información. No existe una maquinaria rigurosa que permita escribir la correspondencia cuántica de un objeto clásico. Físicamente hablando, esto se debe a que las estructuras cuánticas son más fundamentales en la Naturaleza que las clásicas.
Hablando matemáticamente, los problemas surgen cuando tienes que definir operadores autoadjuntos precisos para explotar la maquinaria espectral. Me refiero a lo siguiente. Toda regla formal, desde la imagen clásica hasta la cuántica, relativa a los observables , es decir, una maquinaria que asocia los observables clásicos a los operadores correspondientes, que describe los "mismos" observables a nivel cuántico , da lugar, como mucho, a operadores simétricos . En cambio, se necesitan operadores autoadjuntos adecuados para describir los observables cuánticos.
De hecho sucede que un operador simétrico admite una, muchas o ninguna extensión autoadjunta. El segundo caso es el más común. Aquí, alguna información física adicional debe ingresar al formalismo para elegir la extensión autoadjunta "correcta". Esta información adicional no está incluida en la descripción clásica lagrangiana o hamiltoniana del sistema considerado.
maravilloso