Espacio de Hilbert de la teoría de calibre (cuántica)

En el caso de no interacción, el espacio de Hilbert apropiado para una teoría del campo de calibre de cualquier espín es un espacio de Fock sobre el espacio de 1 partícula de soluciones de las ecuaciones clásicas del campo de calibre libre para el mismo espín. (Para el giro 1, las partículas asociadas serían gluones que no interactúan si existieran). Este espacio está libre de fantasmas. Las diferencias para los diferentes espines radican simplemente en la diferente estructura de las ecuaciones de campo clásicas.

Este espacio de Hilbert se puede describir de muchas formas diferentes pero equivalentes.

Como menciona la otra respuesta, generalmente se representa mediante la cohomología BRST, ya que esto proporciona la teoría de perturbaciones renormalizada más rastreable. Aquí aparecen fantasmas ya que el espacio BRST Hilbert está incrustado en un espacio de producto interno indefinido más grande. (El espacio de Hilbert físico libre de fantasmas se recupera como el cociente del núcleo de la carga BRST$Q$por la imagen de$Q$. Ya que$Q$satisface$Q^2=0$, es análoga a la derivada exterior$d$, que satisface$d^2=0$, y da lugar a la cohomología BRST de la misma manera que$d$da lugar a la cohomología tradicional de De Rham.)

Para una teoría del campo de norma abeliana, existen descripciones más elementales del espacio de Hilbert que no interactúa. Por ejemplo, un campo electromagnético cuántico libre reside en el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables$A(p)$del impulso del cono de luz$p$($p^2=0,p_0>0$) en un producto interno semidefinido degenerado pero positivo donde todas las funciones con$A(p)$Paralelo a$p$tener norma cero. Esto da la descripción estándar de los fotones en la óptica cuántica. (Consulte, por ejemplo, la entrada ''¿Qué es un fotón?'' en el Capítulo B2: Fotones y electrones de mis preguntas frecuentes sobre física teórica en http://arnold-neumaier.at/physfaq/physics-faq.html .

Se desconoce el espacio de Hilbert apropiado para una teoría de campos de calibre que interactúan. Esto no es sorprendente ya que es desconocido para cualquier teoría de campos interactivos en 4D. Lo poco que se sabe sobre la situación en este caso se puede encontrar en un libro reciente de F. Strocchi, Una introducción a los fundamentos no perturbadores de la teoría cuántica de campos, Universidad de Oxford. Prensa, 2013.

El espacio de Hilbert de una teoría de calibre está definido por la simetría BRST o, para ser más precisos, la cohomología BRST.

En el formalismo de la integral de caminos, es necesario introducir fantasmas para fijar el calibre de una teoría no abeliana. Esta teoría ahora contiene estados de norma negativa, por lo que es un espacio pseudo-Hilbert. El Lagrangiano de esta teoría tiene una simetría adicional, es decir, una simetría en la que los campos fantasma actúan como parámetros infinitesimales. Asociadas con esta simetría hay una corriente de Noether y una carga de Noether, esta última se denomina carga BRST. El cargo BRST es un operador nilpotente, es decir$Q^2=0$. Este comportamiento permite definir una cohomología, que se puede entender de la siguiente manera:

Dado que la carga BRST es un operador cuántico, podemos preguntarnos qué ocurre cuando dejamos que actúe sobre algún estado.$|\Psi\rangle$. Dado que el operador$Q$es nilpotente,$Q|\Psi\rangle=0$si$|\Psi\rangle$Se puede escribir como$|\Psi\rangle=Q|\Phi\rangle$, es decir

Pero también existe la posibilidad de que los estados desaparezcan bajo la acción de la carga BRST sin que sean definidos por$Q|\Phi\rangle$. Se dice que tales estados están en la cohomología del operador de carga. Se identifican como los estados físicos de la teoría y no contienen fantasmas ni antifantasmas. Además, se puede argumentar que la cohomología no cambia bajo la evolución del tiempo unitario debido al hecho de que el hamiltoniano conmuta con$Q$.

El formalismo BRST también funciona para la teoría de cuerdas, que contiene partículas de espín 2, es decir, gravitones.