Un jugador con 3 dados iguales.

Aquí está el problema: nos dan 3 dados iguales y (este problema tenía varias partes cuando lo probé, aquí estoy tomando solo un escenario) se dice que ganaremos el juego si la suma de los números que aparecen en los dados es menos de 11 (estrictamente). Solo nos dan un solo tiro (en el que lanzas los 3 dados iguales juntos). Estamos obligados a encontrar la probabilidad de que ganemos.

Así es como abordé el problema. En primer lugar, supongamos que los dados no son iguales sino distintos, por lo que los 3 dados pueden mostrar números como (113), (131), (311)

Entonces pensé que " el simple hecho de que no puedas distinguir entre los dados no significa que la suma de 5 deba incluir solo 113 y 122. Es decir, la probabilidad de que ocurra la suma de 5 no debería ser simplemente 2/216" .

Eso me hizo darme cuenta de que debería tratar los dados como distintos.
Así que seguí adelante con esta idea de tratar los dados como distintos. De esto se deduce que debo calcular todas las combinaciones posibles de númerors en 3 dados con suma menor que 11. por lo tanto, solo las posibilidades de suma son {3,4,5...10}

para calcular esto usé el método de los mendigos: -

X 1 + X 2 + X 3 = y
dónde y ⊂ 3 , 4 , 5...10 y X 1 , X 2 , X 3 son todos mayores que 1 resolviendo esto para todo y en el conjunto se obtiene: -
( 9 2 ) + ( 8 2 ) + ( 7 2 ) + ( 6 2 ) + ( 5 2 ) + ( 4 2 ) + ( 3 2 ) + ( 2 2 )
Ok, entonces esto rinde ( 10 3 ) = 120, es decir, el número total de formas = 120, por lo tanto, probabilidad = 120/216. Pero sale ser 1/2. Por favor, dime dónde me equivoco.

En este caso específico, para cada ( X , y , z ) hay ( 7 − X , 7 − y , 7 − z ) , y exactamente uno de esos dos tiene una suma menor que 11
@Empy2 para que podamos usar la simetría... Lo tengo, pero ¿cómo lo averiguaste?
Solo después de saber que la respuesta es un número simple, podría haber una razón simple.

Respuestas (3)

No entiendo de dónde sacas los diversos ( k 2 ) componentes de su sumando, pero hay un par de maneras diferentes de abordar el problema. Lo más fácil es usar simetría. Tenga en cuenta que para cada dado, norte i y 7 − norte i son igualmente probables. De este modo, ∑ norte i y 21 − ∑ norte i son igualmente probables. Eso significa que los números 3 a través de 10 y los numeros 11 a través de 18 son igualmente probables, y esos dos casos agotan el espacio muestral, por lo que su probabilidad debe ser 1 2 .

Alternativamente, el número de soluciones en enteros positivos de norte 1 + norte 2 + norte 3 ≤ 10 con cada 1 ≤ norte i ≤ 6 es igual al número de soluciones en enteros no negativos de metro 1 + metro 2 + metro 3 ≤ 7 con cada metro i ≤ 5 , que es igual al número de soluciones con metro i ≤ 5 de metro 1 + metro 2 + metro 3 + z = 7 . Use estrellas y barras para ver que hay ( 10 3 ) = 120 soluciones no restringidas a esta ecuación.

De esto, tienes que restar el número de soluciones para las cuales metro i ≥ 6 para algunos i . Es fácil ver que para cada i hay 4 soluciones “prohibidas”, para un total de 4 ⋅ 3 = 12 . Por lo tanto, el número total de soluciones permisibles es 120 − 12 = 108 , que es exactamente la mitad de 216 .

Parece que puede haber pasado por alto la restricción de que ningún dado puede dar un resultado mayor que 6 .

si si lo he pasado por alto

La tirada de tres dados ( a , b , C ) dónde 1 ≤ a , b , C ≤ 6 es igualmente probable que el rollo ( 7 − a , 7 − b , 7 − C ) . Así que si X = a + b + C , entonces PAG ( X = X ) = PAG ( X = 21 − X ) ; es decir, la distribución de la suma de los tres dados es simétrica 21 / 2 . Como consecuencia, PAG ( X ≤ 10 ) = PAG ( X ≤ 21 / 2 ) = 1 / 2 .

gracias por la respuesta. Solo quería saber si este es un método estándar. que podemos aplicar en cualquier escenario, es decir, incluso si tomara, digamos, 4 dados, sería simétrico alrededor de 14, así que todo ≤ 14 y la probabilidad de obtener \ge 14 es 1/2, ¿verdad?
@Damstridium No del todo. En el caso de 4 dados, es posible tirar exactamente 14 . (Observe que en el caso de 3 dados, no es posible tirar exactamente 21 / 2 .) Si puede calcular PAG ( X = 14 ) entonces puedes trabajar con la ecuación PAG ( X < 14 ) + PAG ( X = 14 ) + PAG ( X > 14 ) = 1 y aprovechar la relación PAG ( X < 14 ) = PAG ( X > 14 ) . pero la informática PAG ( X = 14 ) puede tomar algo de trabajo.
ok, entonces esta equivalencia de probabilidad es para una desigualdad estricta... tiene sentido. ¡¡¡gracias!!!

Un enfoque muy simple que me llamó la atención es literalmente contar los casos deseados, ya que los casos son limitados y fáciles de contar, como se muestra a continuación:

1 . los números en los dados son diferentes:

( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 2 , 4 ) , ( 1 , 2 , 5 ) , ( 1 , 2 , 6 ) , ( 1 , 3 , 4 ) , ( 1 , 3 , 5 ) , ( 1 , 3 , 6 ) , ( 1 , 4 , 5 ) , ( 2 , 3 , 4 ) , ( 2 , 3 , 5 ) ;
por lo tanto en este estado tenemos 10 × 6 = 60 casos.

2 . Dos de los números en los dados son iguales:

( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 1 , 3 ) , ( 1 , 1 , 4 ) , ( 1 , 1 , 5 ) , ( 1 , 1 , 6 ) , ( 2 , 2 , 1 ) , ( 2 , 2 , 3 ) , ( 2 , 2 , 4 ) , ( 2 , 2 , 5 ) , ( 2 , 2 , 6 ) ,
( 3 , 3 , 1 ) , ( 3 , 3 , 2 ) , ( 3 , 3 , 4 ) , ( 4 , 4 , 1 ) , ( 4 , 4 , 2 ) ;
por lo tanto en este estado tenemos 15 × 3 = 45 casos.

3 . todos los números en los dados son iguales:

( 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 2 , 2 ) , ( 3 , 3 , 3 ) ;
por lo tanto en este estado tenemos 3 × 1 = 3 casos.

Por lo tanto, el resultado es 60 + 45 + 3 216 = 0.5 .

Un jugador con 3 dados iguales.
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