Confusión sobre problemas de probabilidad

En estos problemas, un "diagrama de árbol" es útil, de hecho casi indispensable, para el análisis de la situación. Los diagramas de árbol se han omitido porque se tarda algún tiempo en dibujarlos con un software de gráficos. Así que nos quedamos con argumentos puramente "verbales". ¡Por favor, en cada caso, dibuje un diagrama de árbol apropiado!

Problema 1:

Manera 1: La probabilidad de que la suma en cualquier lanzamiento sea$5$es$4/36$. La probabilidad de que la suma sea$7$es$6/36$. Tal vez sea obvio que con probabilidad$1$"primero es$5$" o "primero es$7$"sucederá. Y tal vez sea obvio que la relación de las probabilidades de los dos eventos es$4$a$6$. Entonces la probabilidad de que la primera sea$5$es$4/10$. Esto resulta ser correcto, pero a menos que la intuición de uno esté muy bien desarrollada, este tipo de razonamiento puede ser peligroso.

Manera 2: Cuando lanzamos dos dados, dejemos$N$ser el evento "no obtenemos ni un$5$ni un$7$." Es fácil ver que la probabilidad de$N$es$26/36$.

Imagina que el juego termina cuando un$5$o un$7$sucede Entonces "$5$viene antes$7$" puede ocurrir de varias maneras. Podríamos obtener un$5$inmediatamente. llamar a ese evento$5$, O podríamos obtener$N$entonces$5$. Llama esto$N5$. O podríamos conseguir$NN5$. O bien podríamos conseguir$NNN5$, etcétera.

La probabilidad de$5$es$4/36$. La probabilidad de$N5$es$(26/36)(4/36)$. La probabilidad de$NN5$es$(26/36)^2(5/36)$. Etcétera.

Entonces la probabilidad de "$5$antes$7$" es

Manera 3: Deja$p$ser la probabilidad de que$5$viene antes$7$. El evento "$5$sucede antes$7$" puede ocurrir de una de dos maneras: (i) Obtenemos un$5$en el primer lanzamiento o (ii) obtenemos un$N$en el primer lanzamiento, pero en el siguiente lanzamiento,$5$viene antes$7$.

Dejar$p$ser la probabilidad de que$5$sucede antes$7$. Entonces del análisis anterior

Problema 2: El evento "las letras son iguales" puede ocurrir de varias maneras: (i) obtenemos una S de la primera palabra y una S de la segunda; (ii) obtenemos una T de la primera palabra y una T de la segunda; (iii) obtenemos una A de la primera palabra y una A de la segunda; (iv) obtenemos una I de la primera palabra y una I de la segunda.

¿Cuál es la probabilidad de (i)? La probabilidad de obtener S de ESTADÍSTICAS es$3/10$. La probabilidad de obtener S del ASISTENTE es$3/9$. Entonces, la probabilidad de obtener S de la primera palabra y S de la segunda es$(3/10)(3/9)$.

¿Cuál es la probabilidad de (ii)? La probabilidad de obtener T de la primera palabra es$3/10$. La probabilidad de obtener T del segundo es$2/9$. Así que la probabilidad de que obtengamos una T de cada uno es$(3/10)(2/9)$.

De manera similar, la probabilidad de (iii) es$(1/10)(2/9)$y la probabilidad de (iv) es$(2/10)(1/9)$.

Agregar. La probabilidad requerida es

Por favor revisa los números, no soy particularmente bueno para contar.

Problema 3: La lógica es un poco como la del problema anterior. Tiramos el dado y obtuvimos uno de$1$,$2$, \puntos,$6$, cada uno con probabilidad$1/6$.

"Todos son rojos" puede ocurrir de varias maneras. Tal vez lanzamos un$1$, y obtuve una roja en la bola que sacamos. Si sacamos una bola, la probabilidad de que sea roja es$6/10$. Así que la probabilidad de que lancemos un$1$, por lo tanto sacó una bola, y era roja es$(1/6)(6/10)$.

Tal vez lanzamos un$2$, y dibujó$2$bolas rojas La probabilidad de sacar rojo y luego rojo es$(6/10)(5/9)$. Así que la probabilidad de que lancemos un$2$y luego obtuve$2$rojo es$(1/6)(6/10)(5/9)$.

O tal vez lanzamos un$3$luego dibujó$3$bolas rojas La probabilidad de esto es$(1/6)(6/10)(5/9)(4/8)$.

Continúe y al final sume las seis probabilidades que ha calculado.

Problema 4: no hará esto, se ha publicado una solución. Además, no creo que el problema esté bien definido, ya que no sabemos por qué proceso el$2$Se obtuvieron las cartas supervivientes.

SUGERENCIA para 4:

Hay 8 posibles dos secuencias consecutivas en TATANAGAR, de las cuales TA aparece dos veces.
Hay 7 posibles dos secuencias consecutivas en CALCUTA, de las cuales TA aparece una vez. Dejar$K$sea ​​el evento que represente a TATANGAR,$C$el evento que representa a CALCUTA. Entonces$P(K)=P(C)=1/2$.
Entonces$P(TA\vert K)=1/4;$ $P(TA\vert C)=1/7.$

La probabilidad de que TA sea visible es

En 1, deja$p_n$Sea la probabilidad de que el juego termine con un$5$en número de rollo$n$. ¿Puedes encontrar una fórmula para$p_n$? ¿Puedes ver qué hacer con todos los$p_n$una vez que tenga una fórmula para ellos?

Sugerencia extravagante sobre el n.° 2: la probabilidad de elegir una A de ambas palabras es 1/10 (1 A en ESTADÍSTICAS) multiplicado por 2/9 (2 As en ASISTENTE), o 2/90. El proceso para las otras letras es el mismo y simplemente súmalas. :)