La mejor estrategia para un juego de dados

Solo trabaja al revés. En cada etapa, acepta una tirada que es >= la ganancia esperada de las etapas posteriores:
Ganancia esperada de la 6ta tirada: 7/2
Por lo tanto, la estrategia para la 5ta tirada es: aceptar si >= 4
Ganancia esperada de la 5ta tirada: (6 + 5 + 4)/6 + (7/2)(3/6) = 17/4
Por lo tanto, la estrategia para la cuarta tirada es: aceptar si >= 5
Ganancia esperada de la cuarta tirada: (6 + 5)/6 + (17/ 4)(4/6) = 14/3
Por lo tanto, la estrategia para la tercera tirada es: aceptar si >= 5
Ganancia esperada de la tercera tirada: (6 + 5)/6 + (14/3)(4/6) = 89/ 18
Por lo tanto, la estrategia para la segunda tirada es: aceptar si >= 5
Ganancia esperada de la segunda tirada: (6 + 5)/6 + (89/18)(4/6) = 277/54
Por lo tanto, la estrategia para la primera tirada es: aceptar solamente si 6
Ganancia esperada de la primera tirada: 6/6 + (277/54)(5/6) = 1709/324

Entonces su estrategia es 6,5,5,5,4 para una expectativa de $5.27469...

Dejar$X_n$ser sus ganancias en un juego de longitud$n$(en tu caso$n = 6$), si estás jugando de forma óptima. Aquí, "óptimamente" significa que en rollo$m$, aceptará si el valor es mayor que$\mathbb{E} X_{n-m}$, que son sus ganancias esperadas si continúa jugando con esta estrategia.

Dejar$X \sim \mathrm{Unif}(1,2,3,4,5,6)$(también puede insertar cualquier distribución que desee aquí). Entonces$X_n$Puede ser definido como$X_1 = X$y para$n \geq 2$,

Por lo tanto, sus decisiones pueden determinarse computando$\mathbb{E} X_n$para cada$n$recursivamente. Para el caso de los dados,$\mathbb{E} X_1 = \mathbb{E}X = 7/2$(es decir, en la quinta tirada, acepta si obtienes >7/2, o 4,5 o 6), y así,

Entonces, en la cuarta tirada, acepta si obtienes > 17/4, o 5 o 6, y así sucesivamente (necesitas redondear la respuesta en cada paso, lo que dificulta dar una forma cerrada para$\mathbb{E} X_n$desafortunadamente).

En la penúltima tirada, la expectativa en la última tirada es 3,5, por lo que aceptar 4 y rechazar 3 es claramente correcto. En la penúltima tirada, debe calcular la expectativa si rechaza. Tienes 1/2 de posibilidades de sacar 4 o más y aceptarlo, con una expectativa de 5. Tienes 1/2 de posibilidades de sacar 3 o menos y rechazarlo, con una expectativa de 3.5. Entonces, si rechaza el penúltimo, espera 4.25. Por lo tanto, debe rechazar un 4 y aceptar un 5. Si continúa trabajando hacia atrás de esta manera, es posible que deba cambiar al menos uno de sus 5 a 6.