Matemáticas detrás del juego de fósforos en The Goal

No veo una manera fácil de simplificar esto para rondas posteriores, por lo que lo que sigue se basa en cálculos.

en la primera ronda

• el numero esperado$n$la persona que pasa es$\frac{1^n+2^n+3^n+4^n+5^n+6^n}{6^n}$, que para los primeros cinco son aproximadamente$3.5$,$2.53$,$2.04$,$1.76$y$1.57$respectivamente, tendiendo hacia$1$como$n$aumenta La diferencia entre el primero y el último de aproximadamente$1.93$es el desperdicio esperado

• las cantidades esperadas que quedan entre el$n-1$y$n$la gente es la diferencia entre estos, a saber$\frac{1\times 5^n + 2\times 4^n + 3\times 3^n + 4\times 2^n + 5\times 1^n}{6^n}$que para los espacios iniciales son aproximadamente$0.97$,$0.49$,$0.29$,$0.19$, tendiendo hacia$0$como$n$aumenta Como era de esperar, estos suman alrededor de$1.93$como el desperdicio total hasta ahora

• las probabilidades de$n$la persona que pasa$k$son$\frac{(7-k)^n-(6-k)^n}{6^n}$para$1 \le k \le 6$. Así que para la quinta persona estos son$1$con probabilidad sobre$0.60$,$2$con probabilidad sobre$0.27$,$3$con probabilidad sobre$0.10$,$4$con probabilidad sobre$0.03$,$5$con probabilidad sobre$0.004$y$6$con probabilidad sobre$0.0001$, y aumentando$n$concentra la probabilidad en$1$siendo pasado

En el$r$ª ronda (para grandes$r$)

• el numero esperado$n$la persona que pasa se acerca a la media de los dados$3.5$. Sospecho que la diferencia esperada (es decir, la cantidad esperada desperdiciada por esa persona y sus predecesores) podría ser aproximadamente proporcional a$\frac{1}{\sqrt{r}}$

• las cantidades esperadas que quedan entre las personas es, en efecto, el desperdicio acumulativo esperado de todas las rondas anteriores, por lo que sospecho que podría ser más o menos proporcional a${\sqrt{r}}$, es decir, aumentando sin límite

• la distribución de las cantidades pasadas por el$n$persona continúa teniendo valores más bajos más comunes que los valores más altos, pero tiende a estar más cerca de una distribución equitativa de$\frac16$para cada valor

por ejemplo, en el$100$ronda, mis cálculos no comprobados sugieren

• los números esperados que pasan las cinco personas son aproximadamente$3.5$,$3.40$,$3.28$, y$3.23$respectivamente, dando un desperdicio esperado combinado de aproximadamente$0.27$en esa ronda

• las cantidades esperadas que quedan entre las personas después de esa ronda son aproximadamente$17.94$,$12.28$,$9.63$y$8.04$, para un desperdicio acumulativo esperado combinado de aproximadamente$47.89$

• la quinta persona pasa$1$con probabilidad sobre$0.20$,$2$con probabilidad sobre$0.19$,$3$con probabilidad sobre$0.18$,$4$con probabilidad sobre$0.17$,$5$con probabilidad sobre$0.14$y$6$con probabilidad sobre$0.12$

También preguntaste sobre el uso de diferentes dados. Claramente esto cambiaría los números, pero dudo que cambie los patrones generales.