Probabilidad de tirar un dado

Sé que puedo usar las definiciones aquí para calcular la varianza de$S$y luego sacarle la raíz cuadrada.

No estoy seguro de entender lo que quieres decir con eso... pero aquí vamos.

Dejar$i=6$. Para cada$n\geqslant1$, llamar$X_n$el resultado de la$n$th tiro, uniformemente distribuido en$\{1,2,\ldots,i\}$, y$A_n$el evento que$X_k\ne i$para cada$1\leqslant k\leqslant n-1$. Entonces

$$S=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}X_n\cdot[A_n].$$ Para cada $n$, $\mathrm E(X_n)=x$con $x=\frac12(i+1)$y $\mathrm P(A_n)=a^{n-1}$con $a=\mathrm P(X_1\ne i)$por eso $a=(i-1)/i$y $$\mathrm E(S)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}x\cdot a^{n-1}=x\cdot(1-a)^{-1}=\tfrac12i(i+1).$$ Asimismo $\mathrm E(S^2)=u+2v$con $$u=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\mathrm E(X_n^2\cdot[A_n]), \qquad v=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\mathrm E(X_nX_k\cdot[A_k]).$$ Para cada $n$, $\mathrm E(X_n^2)=y$con $y=\mathrm E(X_1^2)=\frac16(i+1)(2i+1)$, y $X_n$y $A_n$son independientes, por lo tanto $$u=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}y\cdot a^{n-1}=y\cdot(1-a)^{-1}=yi.$$ Así mismo, por cada $k\gt n$, $X_k$es independiente en $X_n\cdot[A_k]$y $$\mathrm E(X_n\mid A_k)=\mathrm E(X_n\mid X_n\ne i)=z,$$ con $z=\mathrm E(X_1\mid X_1\ne i)=\frac12i$, por eso $$v=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}xz\cdot a^{k-1}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}xz\cdot a^{n}\cdot(1-a)^{-1}=xz\cdot a\cdot(1-a)^{-2}=xzi(i-1).$$ Finalmente, $$\mbox{Var}(S)=u+2v-\mathrm E(S)^2=yi+2xzi(i-1)-x^2i^2=\tfrac1{12}i(i+1)(i-1)(3i-2).$$ Para $i=6$, $\mathrm E(S)=21$y $\mbox{Var}(S)=280$.

Editar Uno ve que$\mathrm E(S)=\mathrm E(X_1)\mathrm E(N)$dónde$N$es el momento de la primera aparición de$i$. Esta es la fórmula de Wald . De acuerdo con esta página de WP, la fórmula para la varianza se conoce como ecuación de Blackwell-Girshick . Procediendo como arriba, se obtiene

$$\mathrm{Var}(S)=\mathrm{Var}(X_1)\cdot\mathrm E(N)+\mathrm E(X_1)^2\cdot\mathrm E(N).$$

Dejar$Y$Sea el número de rollos antes de un$6$está enrollado. Dejar$X$Sea la suma de los dados lanzados antes de$6$. Rendimientos de cálculo sencillos

$$\mathsf{E}(X|Y=n)=n\;\mathsf{E}(X|Y=1)=3n$$ y $$\mathsf{Var}(X|Y=n)=n\;\mathsf{Var}(X|Y=1)=2n$$ y $$\mathsf{P}(Y=n)=\left(\frac{5}{6}\right)^n\frac{1}{6}$$ Usando la ley de la varianza total , obtenemos $$\begin{align} \mathsf{Var}(X) &=\mathsf{E}(\mathsf{Var}(X|Y))+\mathsf{Var}(\mathsf{E}(X|Y))\\ &=\sum_{n=0}^\infty\;2n\left(\frac{5}{6}\right)^n\frac{1}{6}+\sum_{n=0}^\infty\;(3n)^2\left(\frac{5}{6}\right)^n\frac{1}{6}-\left(\sum_{n=0}^\infty\;3n\left(\frac{5}{6}\right)^n\frac{1}{6}\right)^2\\ &=\frac{2}{6}\frac{\frac{5}{6}}{(1-\frac{5}{6})^2}+\frac{3^2}{6}\left(\frac{2\left(\frac{5}{6}\right)^2}{(1-\frac{5}{6})^3}+\frac{\frac{5}{6}}{(1-\frac{5}{6})^2}\right)-\left(\frac{3}{6}\frac{\frac{5}{6}}{(1-\frac{5}{6})^2}\right)^2\\ &=10+495-225\\ &=280 \end{align}$$ Por lo tanto, la desviación estándar es $\sqrt{280}$.

Epílogo:

Aunque no se solicita en la pregunta, el valor esperado de$S$es simple de calcular por la linealidad de la expectativa. Dado que la probabilidad de sacar un$6$es$\frac{1}{6}$, el número medio de rollos es$6$. Dado que cada no-$6$rollo tiene una media de$3$y en promedio habrá$5$no-$6$rollos, obtenemos$\mathsf{E}(S)=5\cdot3+6=21$.

También podemos calcular esto usando la configuración para la varianza anterior. Desde$S=6+X$,

$$\begin{align} \mathsf{E}(S) &=6+\mathsf{E}(X)\\ &=6+\mathsf{E}(\mathsf{E}(X|Y))\\ &=6+\sum_{n=0}^\infty3n\left(\frac{5}{6}\right)^n\frac{1}{6}\\ &=6+\frac{3}{6}\frac{\frac{5}{6}}{(1-\frac{5}{6})^2}\\ &=6+15\\ &=21 \end{align}$$

Una solución considerablemente menos general y menos detallada que la proporcionada por Didier Piau es la siguiente.

si el primero$6$ocurre en el$N$-ésima tirada del dado, entonces$N$es una variable aleatoria geométrica con parámetro$\frac{1}{6}$. tenemos eso$E[N] = 6$y$\text{var}(N) = 30$. Dado el valor de$N$, podemos escribir

$$S = 6 + \sum_{i=1}^{N-1} Y_i$$ donde el $Y_i$son variables aleatorias independientes uniformemente distribuidas en $\{1,2,3,4,5\}$y el $6$es la contribución de la $N$ª tirada del dado a la suma. Desde $E[Y_i] = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$, $$E[S\mid N] = E\left[6 + \sum_{i=1}^{N-1} Y_i\right] = 6 + \sum_{i=1}^{N-1}E[Y_i] = 6 + 3(N-1) = 3N + 3$$ y entonces $$E[S] = E[E[S|N]] = E[3N + 3] = 21.$$

Desde cada uno$Y_i$tiene varianza$\dfrac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2}{5}-3^2 = 2$y es independiente de los demás,

$$\text{var}(S\mid N) = \text{var}\left(6 + \sum_{i=1}^{N-1} Y_i\right) = \sum_{i=1}^{N-1}\text{var}(Y_i) = 2(N-1) ~$$ y entonces $$E[\text{var}(S\mid N)] = E[2(N-1)] = 10$$ mientras $$\text{var}(E[S\mid N]) = \text{var}(3N + 3) = 9\cdot\text{var}(N) = 270$$ donación $$\text{var}(S) = E[\text{var}(S\mid N)] + \text{var}(E[S\mid N]) = 280.$$