¿Un enunciado matemático está determinado únicamente por todas sus condiciones necesarias?

¡Hasta la equivalencia demostrable, la respuesta es "sí"!

Toda teoría de primer orden se puede asociar a una categoría sintáctica donde las fórmulas$\varphi(x_1, \ldots x_n)$corresponden a subobjetos de un objeto$X^n$(aqui deberias pensar en$X$como el "conjunto subyacente" de un "modelo libre" de su teoría. Entonces la fórmula$\varphi(x_1, \ldots, x_n)$es exactamente el subobjeto$\{ (x_1, \ldots, x_n) \mid \varphi(x_1, \ldots, x_n) \} \subseteq X^n$. Esta es una pequeña mentira piadosa, pero es moralmente correcta).

Ahora los subobjetos (definibles) de$X^n$(hasta equivalencia demostrable) forman una red, y$\phi \leq \psi$pasa si y solo si$\phi \vdash \psi$! Ahora, ¿qué nos dice el lema de yoneda para esta red? Dice exactamente eso$\psi$está determinada hasta el isomorfismo (es decir, hasta la equivalencia demostrable) por los elementos siguientes$\psi$.

Entonces$\psi(x_1, \ldots, x_n)$se determina hasta la equivalencia demostrable por

O, si lo desea,

desde$\phi \vdash \psi$implica$\phi \to \psi$es el elemento superior de la red (Verdadero).

Para obtener más información, puede que le interesen las notas de la conferencia de Steve Awodey aquí .

Espero que esto ayude ^_^

Me gusta la perspectiva teórica de la categoría en la respuesta de HallaSurvivor, pero permítanme dar una versión más "realista" del mismo argumento, que podría ayudar a algunos lectores.

arreglar un$L$-oración$P$. Dejar$N = \{Q\mid Q\text{ is an $L$-sentence, and }P\vdash Q\}$, el conjunto de todos$L$- oraciones que son necesarias para$P$. afirmo que$P$puede recuperarse, hasta la equivalencia lógica, de$N$. En efecto,$P$se caracteriza hasta la equivalencia lógica como la oración en$N$con la propiedad de que es suficiente para cada oración en$N$. Es decir, por las siguientes propiedades: (1)$X\in N$, y (2) para todos$Q\in N$,$X\vdash Q$.

Primera nota que$P$satisface (1) y (2). Para 1),$P\vdash P$, entonces$P\in N$. Para (2), para todos$Q\in N$,$P\vdash Q$por definición de$N$.

Ahora supongamos$P'$satisface (1) y (2). afirmo que$P'$es lógicamente equivalente a$P$. Por 1),$P'\in N$, entonces$P\vdash P'$. Y desde$P\in N$, por (2),$P'\vdash P$. Entonces$P$y$P'$son lógicamente equivalentes.

Creo que esto responde a la pregunta tal como la ha planteado en su título y primer párrafo. Desafortunadamente, el resto de lo que escribiste (en particular, el "intento de hacer la pregunta más precisa") tiene poco sentido para mí. Aquí hay algunas preguntas aclaratorias:

• En la pregunta del título, usted habla de todas las condiciones necesarias para$P$. Pero en los párrafos posteriores, observa un conjunto arbitrario de condiciones$X_i$que son necesarios para$P$. ¿A cuál te referías?
• ¿Qué quiere decir exactamente con "el conjunto$\{P\rightarrow X_i\}_{i\in \mathcal{I}}$es máximamente consistente"? Un conjunto de oraciones condicionales de esta forma nunca será una teoría máximamente consistente (es decir, completa) a menos que$P$es lógicamente válido. ¿Pero tal vez quiso decir máximamente consistente entre conjuntos de oraciones de esta forma? Tenga en cuenta que (a menos que$P$es válido), cualquier conjunto de oraciones de esta forma es consistente, ya que todas son verdaderas cuando$P$Es falso.
• En el siguiente párrafo, cambia "el conjunto$\{P\rightarrow X_i\}_{i\in \mathcal{I}}$es máximamente consistente" para "el conjunto$\{P\rightarrow X_i\}_{i\in \mathcal{I}}$está simultáneamente satisfecho ". Como Andrej Bauer señala en los comentarios, hay otra posibilidad en la que$P\rightarrow X_1$y$P\rightarrow X_2$se satisfacen simultáneamente, es decir, cuando$P$es contradictorio:$\bot$, o$x\neq x$.