Sean P y Q las fórmulas. ¿Tendrían sentido cosas como (P∧¬P)⊨Q(P∧¬P)⊨Q(P \wedge \neg P) \models Q?

Question

Sean P y Q las fórmulas. ¿Tendrían sentido cosas como (P∧¬P)⊨Q(P∧¬P)⊨Q(P \wedge \neg P) \models Q?

lógica
Matemáticas
teoría de modelos
lógica de primer orden
cálculo proposicional

Antonio

Lo confieso, estoy en un estado de total confusión en este momento. Y todavía estoy luchando por comprender la distinción subyacente entre la implicación material normal, $\Rightarrow$ , y la noción de consecuencia semántica, $\models$ .

he visto cosas como $(P \wedge \neg P) \models Q$ aparecen en un libro que estoy leyendo actualmente ( Un primer curso de lógica , de Shawn Hedman), pero al final del día, me hizo preguntarme cuál es la diferencia entre la implicación material y la consecuencia semántica. Quiero decir, de verdad .

Todos sabemos que la sentencia $(P \wedge \neg P) \Rightarrow Q$ es una tautología. Y en un sentido material (solo pensando en términos de valores de verdad y no en términos de cómo se conectan semánticamente las dos fórmulas P y Q), esto es totalmente aceptable para mí. Pero escribir cosas como $(P \wedge \neg P) \models Q$ sopla toda mi comprensión de la diferencia entre $\Rightarrow$ y $\models$ justo por la ventana. Pensé que el símbolo de doble torniquete solo debe usarse en un sentido que tiene más que ver con el significado/interpretación subyacente detrás de las oraciones. como si decimos $P \models Q$ (donde P y Q son oraciones), ¿no significaría entonces que podemos ver una conexión lógica clara que nos permite aceptar que Q se deriva de P?

Si se traduce a palabras, la oración "fórmula Q es una consecuencia semántica de $P \wedge \neg P$ " es incomprensible para mí. No tiene esa conexión lógica que pensé que debe acompañar cada uso del símbolo de doble torniquete (por ejemplo, puedo aceptar fácilmente $(P \wedge Q) \models P$ , porque la conexión lógica está ahí, después de todo, si se establece que P y Q son verdaderas, entonces lógicamente , P debe ser verdadera). Si no se requiere una conexión lógica para el uso de $\models$ , entonces, ¿en qué se diferencia de la implicación material normal?

Siento que me estoy perdiendo algo crucial, como una imagen más grande o una generalización más amplia de lo que representa el símbolo del doble torniquete.

maxime ramzi

P ⊨ Q

$P\models Q$ significa que cualquier modelo que satisfaga

P

$P$ también satisface

Q

$Q$ . Con un teorema de completitud/solidez y un teorema de deducción, esto es lo mismo que

⊢ P ⟹ Q

$\vdash P\implies Q$ . Uno de los puntos de

P \land \neg P ⊨ Q

$P\land \neg P\models Q$ (que también se sostiene de forma intuicionista, donde

⟹

$\implies$ no es material) es que una contradicción debe leerse como "todo", y no como "falsa".

Antonio

@Max Hola. Agradezco la respuesta. Pero todavía estoy confundido, para ser honesto. ¿Es posible explicarlo en términos más sencillos? como se interpreta

(P \land \neg P) ⊨ Q

$(P \wedge \neg P) \models Q$ de una manera que concuerda con el concepto de "consecuencia semántica"?

maxime ramzi

Bien

Q

$Q$ es una consecuencia semántica de

P \land \neg P

$P\land \neg P$ porque en cada posibilidad en que

P \land \neg P

$P\land \neg P$ tiene (¡no existe tal posibilidad!),

Q

$Q$ sostiene también. La semántica se trata de mundos posibles, por eso se llama implicación semántica.

andreas blass

Por lo que puedo decir, su dificultad proviene de la parte de su pregunta que dice "podemos ver una conexión lógica clara". Eso es demasiado vago para ser matemáticas. Si, por "conexión lógica clara", te refieres a algo que incluye tablas de verdad, entonces probablemente estés bien, porque las tablas de verdad te permiten inferir

Q

$Q$ de

P \land \neg P

$P\land\neg P$ . Pero si te refieres a algo más vago que las tablas de verdad, entonces necesitas revisar tu comprensión de

⊨

$\models$ .

Doug Spoonwood

@Max "Con un teorema de integridad/solidez y un teorema de deducción, esto es lo mismo que ⊢P⟹Q". No, interderivabilidad no significa igualdad.

maxime ramzi

@DougSpoonwood debe quedar claro para cualquiera que lea mi comentario que "igual que" aquí es un abuso del lenguaje que significa "equivalente a", por favor no discuta sobre detalles como ese.

Doug Spoonwood

@Max No, sus declaraciones no son lógicamente equivalentes.

⊢

$\vdash$ se refiere a la demostrabilidad sintáctica, lo que significa que uno puede producir literalmente lo que esté en el lado derecho de la

⊢

$\vdash$ . No se puede producir literalmente ninguna fórmula de la forma P⟹Q ya que ninguna fórmula bien formada tiene esa forma. Además, P|=Q es metalingüística y abrevia {P}|=Q, mientras que (P⟹Q) es objeto-lingüística. Las declaraciones en lenguaje objeto y metalenguaje no son equivalentes en general. Por lo general, las declaraciones en metalenguaje tienen más poder expresivo, mientras que las declaraciones en lenguaje objeto son más claras en términos de su validez.

maxime ramzi

@DougSpoonwood entonces me estás diciendo eso

P ⊨ Q

$P\models Q$ y

⊢ (P ⟹ Q)

$\vdash (P\implies Q)$ ¿No son lógicamente equivalentes con un teorema de integridad/falta de solidez y un teorema de deducción? (nuevamente, el problema de los paréntesis es una discusión innecesaria sobre un problema técnico poco interesante aquí)

Doug Spoonwood

@Max Sí, no son lógicamente equivalentes únicamente bajo las condiciones que ha presentado. Necesitaría modus ponens como regla de inferencia. Y los sistemas de lógica proposicional existen sin tal regla de inferencia. Además, la equivalencia lógica es un concepto de la lingüística de objetos en términos de valores de verdad computables. No tengo ninguna razón para suponerlo como un concepto metalingüístico.

Antonio

@Max Esa es exactamente la dificultad a la que me enfrento en este momento. Si tuviéramos que aceptar lo que dijiste en tu segundo comentario, entonces, ¿qué diferencia hay realmente entre

⊨

$\models$ y

\Rightarrow

$\Rightarrow$ ? Eso es solo decir eso

P \land \neg P

$P \wedge \neg P$ implica materialmente

Q

$Q$ , ¿no es así?

Antonio

@Max La ÚNICA forma en que mi mente aturdida puede aceptar todo en este punto es que el uso de

⊨

$\models$ (p.ej,

P ⊨ Q

$P \models Q$ ) es declarar EXPLÍCITAMENTE que

P \Rightarrow Q

$P \Rightarrow Q$ es una tautología. Como, podemos hacer declaraciones compuestas como

P \Rightarrow Q

$P \Rightarrow Q$ en todas partes, pero la implicación material aún puede ser falsa. Y el

⊨

$\models$ ¿Es solo una forma de decir que la implicación material es una tautología? ¿Es esa la manera correcta de entender todo esto?

Antonio

@AndreasBlass Sí. Definitivamente necesito revisar mi comprensión de

⊨

$\models$ 's uso. De hecho, ahora mismo ya ni siquiera sé lo que sé. Estoy de acuerdo contigo en que la 'conexión lógica clara' es demasiado vaga e imprecisa para las matemáticas. Pero lamentablemente esa es la única forma en que puedo expresarlo. Tal vez debería aclarar lo que quise decir con eso. La cosa es que declaraciones como

(P \land Q) ⊨ P

$(P \wedge Q) \models P$ es comprensible para mí en términos de implicación semántica, porque podemos razonar la verdad de

P

$P$ lógicamente. Podemos inferir la verdad de P usando la verdad de

(P \land Q)

$(P \wedge Q)$ ... (continuará)

Antonio

continuó desde arriba... @AndreasBlass Pero, ¿cómo hacemos eso para

(P \land \neg P) ⊨ Q

$(P \wedge \neg P) \models Q$ ? No podemos razonar (o inferir) la verdad de Q basándonos en

P \land \neg P

$P \wedge \neg P$ (¿o podemos?). Quiero decir, simplemente no hay conexión allí. Todo lo que sabemos de

(P \land \neg P)

$(P \wedge \neg P)$ es que es un absurdo, y ya? No hay nada en absoluto sobre

Q

$Q$ .Eso es lo que quiero decir con 'conexión lógica clara'. Debo disculparme por el uso impreciso de los términos aquí, tengo muy poca experiencia en lógica. De hecho, este es mi primer intento.

Antonio

@AndreasBlass Después de leer todos sus comentarios constructivos, he llegado a la conclusión de que

P ⊨ Q

$P \models Q$ es una manera de decir explícitamente que

P \Rightarrow Q

$P \Rightarrow Q$ es un enunciado tautológico. Lo que quiero decir con esto es que podemos tener oraciones como

P \Rightarrow Q

$P \Rightarrow Q$ , pero esa oración aún puede ser una falsedad. pero si decimos

P ⊨ Q

$P \models Q$ , entonces no hay ninguna posibilidad de que

P \Rightarrow Q

$P \Rightarrow Q$ puede ser falso? (que es una tautología) ¿Estoy en el camino correcto aquí? ¿O es solo otra fantasía que mi mente confundida había conjurado?

maxime ramzi

@DougSpoonwood: mhm no, aquí no hay necesidad de modus ponens aquí. Pero no importa que quede claro que no entiendes de qué se trata todo esto y para no contaminar estos comentarios dejaré de responderte.

maxime ramzi

Anthony: el punto es que afirmando "

P ⟹ Q

$P\implies Q$ "no tiene sentido porque no hay interpretación para

P

$P$ , ni para

Q

$Q$ . Así que tú dices

P ⊨ Q

$P\models Q$ decir que esto no depende de la interpretación. Y de hecho, con todos los teoremas que mencioné, esto es equivalente a

⊨ P ⟹ Q

$\models P\implies Q$ lo que significa exactamente eso

P ⟹ Q

$P\implies Q$ es una tautología. Pero, ¿qué más querrías que significara? Como mencionó Andres Blass, la noción de “conexión lógica” no es matemática”

Doug Spoonwood

Por lo general, se necesita @Max Modus ponens para demostrar que "Si |-(P⟹Q), entonces P|-Q".

Doug Spoonwood

@Anthony "Pero, ¿cómo hacemos eso para (P∧¬P)⊨Q? No podemos razonar (o inferir) la verdad de Q basándonos en P∧¬P (¿o podemos?)". En los sistemas de sonido, es posible razonar (P∧¬P)|=Q. Algo como lo siguiente suele funcionar. Suponemos (P∧¬P). Entonces asumimos

\neg

$\lnot$ P. Entonces obtenemos una contradicción de la primera suposición. Entonces tenemos (

\neg

$\lnot$ q

\to

$\rightarrow$ (P∧¬P)) o (

\neg

$\lnot$ q

⊢

$\vdash$ (P∧¬P)). Así, descargamos

\neg

$\lnot$ Q y tenemos Q bajo el supuesto de (P∧¬P). Entonces, (P∧¬P)

⊢

$\vdash$ P. Por solidez, (P∧¬P)|=Q.

Antonio

@DougSpoonwood agradezco la respuesta. Pero soy nuevo en este tema y no tengo suficiente experiencia en matemáticas formales para conocer todas las implicaciones de conceptos como la solidez y la integridad. Pero los leeré primero antes de volver y volver a leer tu comentario. Pero mientras tanto, sería de gran ayuda si pudiera expresar su respuesta en términos completamente sencillos.

Mauro ALLEGRANZA

El problema básico es que podemos tener lenguajes lógicos sin el conectivo condicional (

\to, \Rightarrow

$\to, \Rightarrow$ ): podemos usar

\land, \neg

$\land, \lnot$ o

\lor, \neg

$\lor, \lnot$ y son suficientes para formalizar argumentos así como el concepto de tautología . Pero el concepto de consecuencia lógica :

⊨

$\vDash$ no cambia _

Mauro ALLEGRANZA

"el símbolo del doble torniquete solo debe usarse en un sentido que tiene más que ver con el significado/interpretación subyacente detrás de las oraciones?" SÍ... pero en lógica proposicional el único "significado" de una oración es su VERDADERO-VALOR.

Respuestas (1)

Sean P y Q las fórmulas. ¿Tendrían sentido cosas como (P∧¬P)⊨Q(P∧¬P)⊨Q(P \wedge \neg P) \models Q?

$P\models Q$ significa que cualquier modelo que satisfaga $P$ también satisface $Q$ . Con un teorema de completitud/solidez y un teorema de deducción, esto es lo mismo que $\vdash P\implies Q$ . Uno de los puntos de $P\land \neg P\models Q$ (que también se sostiene de forma intuicionista, donde $\implies$ no es material) es que una contradicción debe leerse como "todo", y no como "falsa".
@Max Hola. Agradezco la respuesta. Pero todavía estoy confundido, para ser honesto. ¿Es posible explicarlo en términos más sencillos? como se interpreta $(P \wedge \neg P) \models Q$ de una manera que concuerda con el concepto de "consecuencia semántica"?
Bien $Q$ es una consecuencia semántica de $P\land \neg P$ porque en cada posibilidad en que $P\land \neg P$ tiene (¡no existe tal posibilidad!), $Q$ sostiene también. La semántica se trata de mundos posibles, por eso se llama implicación semántica.
Por lo que puedo decir, su dificultad proviene de la parte de su pregunta que dice "podemos ver una conexión lógica clara". Eso es demasiado vago para ser matemáticas. Si, por "conexión lógica clara", te refieres a algo que incluye tablas de verdad, entonces probablemente estés bien, porque las tablas de verdad te permiten inferir $Q$ de $P\land\neg P$ . Pero si te refieres a algo más vago que las tablas de verdad, entonces necesitas revisar tu comprensión de $\models$ .
@Max "Con un teorema de integridad/solidez y un teorema de deducción, esto es lo mismo que ⊢P⟹Q". No, interderivabilidad no significa igualdad.
@DougSpoonwood debe quedar claro para cualquiera que lea mi comentario que "igual que" aquí es un abuso del lenguaje que significa "equivalente a", por favor no discuta sobre detalles como ese.
@Max No, sus declaraciones no son lógicamente equivalentes. $\vdash$ se refiere a la demostrabilidad sintáctica, lo que significa que uno puede producir literalmente lo que esté en el lado derecho de la $\vdash$ . No se puede producir literalmente ninguna fórmula de la forma P⟹Q ya que ninguna fórmula bien formada tiene esa forma. Además, P|=Q es metalingüística y abrevia {P}|=Q, mientras que (P⟹Q) es objeto-lingüística. Las declaraciones en lenguaje objeto y metalenguaje no son equivalentes en general. Por lo general, las declaraciones en metalenguaje tienen más poder expresivo, mientras que las declaraciones en lenguaje objeto son más claras en términos de su validez.
@DougSpoonwood entonces me estás diciendo eso $P\models Q$ y $\vdash (P\implies Q)$ ¿No son lógicamente equivalentes con un teorema de integridad/falta de solidez y un teorema de deducción? (nuevamente, el problema de los paréntesis es una discusión innecesaria sobre un problema técnico poco interesante aquí)
@Max Sí, no son lógicamente equivalentes únicamente bajo las condiciones que ha presentado. Necesitaría modus ponens como regla de inferencia. Y los sistemas de lógica proposicional existen sin tal regla de inferencia. Además, la equivalencia lógica es un concepto de la lingüística de objetos en términos de valores de verdad computables. No tengo ninguna razón para suponerlo como un concepto metalingüístico.
@Max Esa es exactamente la dificultad a la que me enfrento en este momento. Si tuviéramos que aceptar lo que dijiste en tu segundo comentario, entonces, ¿qué diferencia hay realmente entre $\models$ y $\Rightarrow$ ? Eso es solo decir eso $P \wedge \neg P$ implica materialmente $Q$ , ¿no es así?
@Max La ÚNICA forma en que mi mente aturdida puede aceptar todo en este punto es que el uso de $\models$ (p.ej, $P \models Q$ ) es declarar EXPLÍCITAMENTE que $P \Rightarrow Q$ es una tautología. Como, podemos hacer declaraciones compuestas como $P \Rightarrow Q$ en todas partes, pero la implicación material aún puede ser falsa. Y el $\models$ ¿Es solo una forma de decir que la implicación material es una tautología? ¿Es esa la manera correcta de entender todo esto?
@AndreasBlass Sí. Definitivamente necesito revisar mi comprensión de $\models$ 's uso. De hecho, ahora mismo ya ni siquiera sé lo que sé. Estoy de acuerdo contigo en que la 'conexión lógica clara' es demasiado vaga e imprecisa para las matemáticas. Pero lamentablemente esa es la única forma en que puedo expresarlo. Tal vez debería aclarar lo que quise decir con eso. La cosa es que declaraciones como $(P \wedge Q) \models P$ es comprensible para mí en términos de implicación semántica, porque podemos razonar la verdad de $P$ lógicamente. Podemos inferir la verdad de P usando la verdad de $(P \wedge Q)$ ... (continuará)
continuó desde arriba... @AndreasBlass Pero, ¿cómo hacemos eso para $(P \wedge \neg P) \models Q$ ? No podemos razonar (o inferir) la verdad de Q basándonos en $P \wedge \neg P$ (¿o podemos?). Quiero decir, simplemente no hay conexión allí. Todo lo que sabemos de $(P \wedge \neg P)$ es que es un absurdo, y ya? No hay nada en absoluto sobre $Q$ .Eso es lo que quiero decir con 'conexión lógica clara'. Debo disculparme por el uso impreciso de los términos aquí, tengo muy poca experiencia en lógica. De hecho, este es mi primer intento.
@AndreasBlass Después de leer todos sus comentarios constructivos, he llegado a la conclusión de que $P \models Q$ es una manera de decir explícitamente que $P \Rightarrow Q$ es un enunciado tautológico. Lo que quiero decir con esto es que podemos tener oraciones como $P \Rightarrow Q$ , pero esa oración aún puede ser una falsedad. pero si decimos $P \models Q$ , entonces no hay ninguna posibilidad de que $P \Rightarrow Q$ puede ser falso? (que es una tautología) ¿Estoy en el camino correcto aquí? ¿O es solo otra fantasía que mi mente confundida había conjurado?
@DougSpoonwood: mhm no, aquí no hay necesidad de modus ponens aquí. Pero no importa que quede claro que no entiendes de qué se trata todo esto y para no contaminar estos comentarios dejaré de responderte.
Anthony: el punto es que afirmando " $P\implies Q$ "no tiene sentido porque no hay interpretación para $P$ , ni para $Q$ . Así que tú dices $P\models Q$ decir que esto no depende de la interpretación. Y de hecho, con todos los teoremas que mencioné, esto es equivalente a $\models P\implies Q$ lo que significa exactamente eso $P\implies Q$ es una tautología. Pero, ¿qué más querrías que significara? Como mencionó Andres Blass, la noción de “conexión lógica” no es matemática”
Por lo general, se necesita @Max Modus ponens para demostrar que "Si |-(P⟹Q), entonces P|-Q".
@Anthony "Pero, ¿cómo hacemos eso para (P∧¬P)⊨Q? No podemos razonar (o inferir) la verdad de Q basándonos en P∧¬P (¿o podemos?)". En los sistemas de sonido, es posible razonar (P∧¬P)|=Q. Algo como lo siguiente suele funcionar. Suponemos (P∧¬P). Entonces asumimos $\lnot$ P. Entonces obtenemos una contradicción de la primera suposición. Entonces tenemos ( $\lnot$ q $\rightarrow$ (P∧¬P)) o ( $\lnot$ q $\vdash$ (P∧¬P)). Así, descargamos $\lnot$ Q y tenemos Q bajo el supuesto de (P∧¬P). Entonces, (P∧¬P) $\vdash$ P. Por solidez, (P∧¬P)|=Q.
@DougSpoonwood agradezco la respuesta. Pero soy nuevo en este tema y no tengo suficiente experiencia en matemáticas formales para conocer todas las implicaciones de conceptos como la solidez y la integridad. Pero los leeré primero antes de volver y volver a leer tu comentario. Pero mientras tanto, sería de gran ayuda si pudiera expresar su respuesta en términos completamente sencillos.
El problema básico es que podemos tener lenguajes lógicos sin el conectivo condicional ( $\to, \Rightarrow$ ): podemos usar $\land, \lnot$ o $\lor, \lnot$ y son suficientes para formalizar argumentos así como el concepto de tautología . Pero el concepto de consecuencia lógica : $\vDash$ no cambia _
"el símbolo del doble torniquete solo debe usarse en un sentido que tiene más que ver con el significado/interpretación subyacente detrás de las oraciones?" SÍ... pero en lógica proposicional el único "significado" de una oración es su VERDADERO-VALOR.

Doug Spoonwood · Answer 1

Doug Spoonwood

"Todos sabemos que la oración (P∧¬P)⇒Q es una tautología".

Ciertamente no sé esto y me quedo sin aliento cuando veo declaraciones como esta. Cualquiera que afirme hacerlo también está, simplemente, equivocado. Por qué las cosas funcionan de esa manera ayuda a iluminar las cosas.

Decir que algo es una tautología es implicar que algo es una secuencia de símbolos a nivel de objeto. Si verifica su definición de una fórmula bien formada, o cualquier término equivalente que se use, (P∧¬P)⇒Q no está bien formado. Por lo tanto, (P∧¬P)⇒Q no es una tautología, porque una tautología es, por definición, una fórmula bien formada. ((P∧¬P)⇒Q) es una tautología.

Por otro lado, (P∧¬P)⊨Q es una construcción de metalenguaje. No está bien formada en el lenguaje objeto, y dado que la aridad del predicado |= parece variar, es posible que no exista una fórmula bien formada correspondiente (aunque tal vez tampoco). Además, |= es un predicado, mientras que ((P∧¬P)⇒Q) no tiene ningún predicado.

La diferencia también podría aclararse al observar otros usos de |=. Por ejemplo, creo que está de acuerdo en que "{p, (p⇒q)} |= q" tiene sentido. Supongamos que |= no es diferente de ⇒. Entonces, "{p, (p⇒q)} |= q" no es diferente de "{p, (p⇒q)} ⇒ q". Hay al menos tres problemas,

"{p, (p⇒q)} ⇒ q" no está bien formada, ya que todas las implicaciones formales bien formadas comienzan con '(' y terminan con ')'.
q es una proposición, pero lo que tenemos del lado izquierdo de la flecha es un conjunto. Pero los conjuntos de proposiciones no son proposiciones. Las proposiciones tampoco son conjuntos de proposiciones. Entonces, nuevamente, "{p, (p⇒q)} ⇒ q" no está bien formado, y ni siquiera es evidente cómo convertirlo en una fórmula bien formada, o incluso necesariamente el caso de que pueda convertirse en un fórmula bien formada, ya que sería incluso dos tipos diferentes de entidades que necesitan caer bajo el mismo techo... por así decirlo. Eso suena como un posible error de categoría.

Pece también ha comentado que:

"... ⊨ es una relación entre secuencias finitas de wffs a la izquierda y wff a la derecha, mientras que ⟹ es un conector binario en el lenguaje que se usa para construir fórmulas".

maxime ramzi

Discutir sobre paréntesis realmente no es relevante aquí. Además, nadie afirma que

⊨

$\models$ es lo mismo que

⟹

$\implies$ aquí. El OP pregunta qué

⊨

$\models$ es, por qué se llama consecuencia semántica, cómo se diferencia de la implicación material, cómo se logra un sentido de "conexión lógica": esto no tiene nada que ver con su respuesta

Doug Spoonwood

@Max No es una disputa. No puede tener una regla válida de sustitución uniforme sin paréntesis. Esa regla resulta esencial para los sistemas axiomáticos que solo tienen axiomas y reglas de inferencia. |= es ciertamente un símbolo de metalenguaje, mientras que ⟹ es un símbolo de lenguaje objeto.

Dan Christensen

(p \land \neg p) ⟹ q

$(p \land \neg p) \implies q$ es una tautología. Consulte la tabla de verdad en wolframalpha.com/input/?i=truth+table+(p+and+~p)+%3D%3E+q

Doug Spoonwood

@DanChristensen No, (p∧¬p)⟹q no es una tautología. Toda tautología es una fórmula bien formada, y (p∧¬p)⟹q no es una fórmula bien formada.

Dan Christensen

Entonces será mejor que le escribas a Wolfram para, ummm... aclararlos. Del mismo modo, Stanford, cuyo generador de tablas de verdad en línea está de acuerdo web.stanford.edu/class/cs103/tools/truth-table-tool Buena suerte con eso. (¡Je, je!)

Doug Spoonwood

@DanChristensen Si (p∧¬p)⟹q es una tautología, entonces por la regla de sustitución uniforme y sustituyendo (p∧¬p)⟹q por q, dado que las tautologías siempre pueden sustituirse por variables, entonces (p∧¬p )⟹ (p∧¬p)⟹q es una tautología. Pero, (p∧¬p)⟹ (p∧¬p)⟹q no es una tautología. (p∧¬p)⟹ (p∧¬p)⟹q es ambiguo. El texto de wolframalpha tampoco es consistente. (p y ~p) => q no es lo mismo que p

\land

$\land$

\neg

$\lnot$ p⟹q. ¿Una clase de CS? ¿Por qué no consulta textos de lógica matemática escritos por lógicos? Aquí hay secciones del texto de Elliot Mendelsohn:

Doug Spoonwood

@DanChristensen "Una forma de declaración que siempre es verdadera, sin importar cuáles sean los valores de verdad de sus letras de declaración, se llama tautología". Para la definición de una 'forma de declaración' ver p. 13 aquí: karlin.mff.cuni.cz/~krajicek/mendelson.pdf "Forma de declaración" es sinónimo de "fórmula bien formada". Un requisito básico para las fórmulas bien formadas radica en que nos permitan calcular los valores de verdad de las expresiones de manera única.

Dan Christensen

En la lógica clásica,

(p \land \neg p) ⟹ q

$(p \land \neg p) \implies q$ es una wff y una tautología.

Doug Spoonwood

@DanChristensen No, (p∧¬p)⟹q no es un wff. Al menos no de ninguna definición viable. Cada wff puede demostrarse como un wff a partir de las reglas de formación de un wff. Entonces, dado que afirmas que (p∧¬p)⟹q es un wff, continúa y demuéstralo como uno solo usando las reglas de formación. Usted ha hecho el reclamo y, por lo tanto, la carga de la prueba recae en usted.

Dan Christensen

Consulte en.wikipedia.org/wiki/… ¿No es esta una "definición factible"?

Doug Spoonwood

@DanChristensen Eso es factible. A partir de esa definición, está claro que cada cadena donde el conector primario (el conector primario sería el primer símbolo si la cadena se tradujera a una notación de prefijo sin paréntesis) es binaria, comienza con un '(' y termina con un ') '. Por lo tanto, si una cadena S no comienza con un '(' y termina con un ')', y el conectivo primario es binario, entonces S no es un wff. Entonces, (p∧¬p)⟹q no es un wff ('⟹' es binario y el conectivo primario). Así que de nuevo, ¿dónde está tu demostración? no lo estoy viendo

Pecé

@DougSpoonwood En realidad, la mayoría de los libros de texto matemáticos sobre teoría de modelos o teoría de prueba establecen en algún momento

P B Q

$P \mathbin{\mathcal B} Q$ como azúcar sintáctico para

(P B Q)

$(P \mathbin{\mathcal B} Q)$ cuando no es perjudicial (con

B

$\mathcal B$ un conector binario). Además, reemplace en todas partes en la pregunta de OP la declaración "incorrecta" por su variación bien formada y aún así su respuesta no aborda la pregunta. En el mejor de los casos, podrías haberlo convertido en un comentario.

Doug Spoonwood

@Pece Espero que esté de acuerdo en que el OP no entendió el concepto de una fórmula bien formada cuando la escribió. El OP escribe: "Pero escribir cosas como (P∧¬P)⊨Q saca por la ventana toda mi comprensión de la diferencia entre ⇒ y ⊨". Pero esto no habría sucedido si la distinción entre fórmulas bien formadas y otras cadenas hubiera sido más clara para el OP. Una diferencia entre ⇒ y |= radica en que ⇒ puede aparecer y aparece en fórmulas bien formadas en lógica proposicional, mientras que |= no puede y no aparece. El llamado "azúcar sintáctico" hace que cosas como esa sean MENOS claras. También...

Doug Spoonwood

El OP escribe: "He visto cosas como (P∧¬P)⊨Q aparecer en un libro que estoy leyendo actualmente (A First Course in Logic, de Shawn Hedman), pero al final del día, tenía yo preguntándome cuál es la diferencia entre la implicación material y la consecuencia semántica. Quiero decir, realmente". Bueno, en realidad, la implicación material se representa mediante símbolos que pueden aparecer y aparecen en fórmulas bien formadas en lógica proposicional, mientras que la consecuencia semántica no puede y no aparece. Así, en realidad, la implicación material es objeto lingüística y la consecuencia semántica es metalingüística.

Pecé

@DougSpoonwood Creo que entiendo lo que estaba tratando de decir en su respuesta, a saber, que

⊨

$\models$ es una relación entre sucesiones finitas de wffs a la izquierda y wff a la derecha, mientras que

⟹

$\implies$ es un conector binario en el lenguaje que se usa para construir fórmulas. Si es así, primero eliminaré mi -1 porque su respuesta no se trata de ser quisquilloso, pero no está del todo claro que este sea el mensaje que desea transmitir, pero en segundo lugar y más importante, ni siquiera estoy seguro de que este sea el problema. OP está luchando en...

Doug Spoonwood

@DanChristensen Escribiste que "((p∧¬q)⟹q) " es una tautología. Que no es. Suponga que q es falsa y p es verdadera. Supongo que es un error tipográfico, pero un pequeño símbolo puede hacer una diferencia como esa.

Dan Christensen

@DougSpoonwood Así que

((p \land \neg p) ⟹ q)

$((p \land \neg p) \implies q)$ con corchetes exteriores es un wff y una tautología. De eso se trata todo esto: ¿¿¿¿de los corchetes exteriores??? DIOS MÍO

Doug Spoonwood

@DanChristensen OMG, ¿crees que los corchetes exteriores no importan y escribes software de prueba de teoremas? Mire, considere un sistema simple con solo -> como conector. Supongamos que x->y es una wff. Supongamos que el único axioma es (x->(y->x)). Suponga que la única regla de inferencia es la sustitución uniforme. Y nada más. Sustituyamos a->b por x en el axioma. Entonces tenemos (a->b->(y->a->b)). Pero digamos que no conocíamos el historial de sustituciones. No tendríamos idea de cómo calcular a->b->(y->a->b). ¡Ups! ¿Qué salió mal? ¡No teníamos dos pequeños paréntesis en nuestra definición de wff!