En las notas de clase de Teoría de modelos de Henson , encontré un ejercicio bastante temprano (1.30, p. 12) que resultó demasiado difícil para mí. Dice así:
Dejar ser el lenguaje de primer orden cuyo único símbolo no lógico es el símbolo del predicado binario . Dejar y deja ser una ultrapotencia de dónde es contablemente infinito y es un ultrafiltro no principal en .
- Muestra esa es un orden lineal.
- Muestre que el rango de la incrustación diagonal de en es un segmento inicial propio de . Dar una descripción explícita de un elemento de que no está en el rango de esta incrustación.
- Muestra esa no es un buen ordenamiento; es decir, describir una secuencia descendente infinita en .
Para el primer punto, me doy cuenta de que "solo" necesito verificar si es reflexivo, transitivo, antisimétrico y fuertemente conectado. Pero no veo cómo siquiera tratar la definición de . Entonces estoy completamente perdido en el segundo punto.
¡Apreciaría cualquier ayuda!
La primera parte es solo una aplicación fácil del teorema de Łoś, pero se demuestra directamente de manera trivial.
La segunda parte. Si es un elemento de la imagen diagonal de y , entonces casi para todos . Entonces sólo hay un número finito de diferentes . Como el ultrafiltro no es principal, hay un conjunto del ultrafiltro y tal que para todos . Entonces pertenece a la imagen de la incrustación diagonal. QED
La tercera parte es sencilla: simplemente encuentre una secuencia descendente infinita que comience con (nuevamente usando el hecho de que el ultrafiltro no es principal).
Alex Kruckmann
jordie vicente