Preliminares de teoría de modelos

la notación$\mathbf M\subseteq\mathbf N$lee "$\mathbf M$está incluido en$\mathbf N$" (o "$\mathbf M$es un subconjunto de$\mathbf N$"), y significa que cada elemento de$M_s$es un elemento de$N_s$, para todo tipo$s$. El mapa de inclusión es la función identidad de$M_s$a$N_s$. Por ejemplo, si$\mathbf M$son los racionales, y$\mathbf N$es los reales, entonces el mapa de inclusión envía cada número racional$\frac pq$al numero real$\frac pq$.

Mi suposición de por qué no lo llamamos el mapa de identidad es que generalmente pensamos que el mapa de identidad tiene el mismo dominio y rango, mientras que con un mapa de inclusión, el rango es (a menudo) un superconjunto del dominio.

Si tenemos una inclusión, entonces obtenemos una incrustación (canónica), en forma de mapa de inclusión. Por el contrario, si tenemos un morfismo, entonces obtenemos una subestructura al considerar la imagen de nuestro morfismo como un subconjunto del rango. Las inclusiones dan lugar a morfismos (de hecho, las incrustaciones), a la inversa, los morfismos dan lugar a inclusiones.

Para cada tipo$s$, el morfismo$h$conserva la ordenación, por lo que la imagen$h_s[M_s]$está incluido en$N_s$. Además,$h$es un morfismo, por lo que conserva relaciones y funciones. A través de la inducción sobre la complejidad de$\mathcal L$-fórmulas, puede mostrar que el rango de$h$es una subestructura (básicamente, por conservar relaciones y funciones, la imagen$h[\mathbf M]$se comporta como$\mathbf M$, por lo tanto es una estructura, pero$h[\mathbf M]$también es un subconjunto de$\mathbf N$, por lo que es una subestructura de$\mathbf N$).

Probablemente ya esté familiarizado con esto en un entorno más aplicado. Tomemos, por ejemplo, un homomorfismo de grupo$h:\mathbf G\to \mathbf F$, entonces$h$preservar la identidad (que es una constante, o$0$función aria) y las operaciones de grupo (la$2$función -aria para la suma de grupos, la$1$-aria para el inverso aditivo), por lo que podemos probar que la imagen$h[\mathbf G]$es un grupo Pero también está incluido en la gama.$\mathbf F$, por eso$h[\mathbf G]$es un subgrupo de$\mathbf F$.