Dejar
y
dos idiomas con
y
y
respectivamente una teoría en
y
. Nosotros decimos eso
es una extensión conservadora de la teoría de modelos de
si cada modelo
de
se puede ampliar a un modelo
de
(ver Extensión conservadora ).
Cuando nosotros tenemos
lo que prueba algo como
dónde
es una fórmula con variables libres x e y, podemos definir
dónde
es una constante de símbolo con aridad 2, y
(ver el teorema de Conservatividad ), que es una extensión de la teoría del modelo de T1
Por lo tanto, mi pregunta es la siguiente. ¿Hay alguna manera de traducir una oración en
a una oración en
? Por ejemplo, si
es un
-frase, hay un
-oración
como
? Por ejemplo, si tomamos la teoría de grupos expresada en
que contiene los símbolos para la unidad (constante), igualdad (relación 2-aria), producto (función 2-aria), uno puede ver fácilmente que hay una extensión conservativa teórica del modelo natural
es igual
más un símbolo para el inverso (función 1-aria). Sería conveniente utilizar
, y decir, no sólo para
-frases, que
, por eso
(coloque aquí una fórmula no muy diferente de F). Porque usamos un lenguaje y una teoría más fuerte, pero no tanto.
Mi principal preocupación es que en las matemáticas del día a día usamos constantes (0, conjunto vacío, etc.) y símbolos de función (para el par, para el seno, etc.) introducidos de esa manera y decimos que todo es traducible. en ZFC. Bueno cómo ?
La respuesta es no en general, pero sí para extensiones definibles, como la que mencionaste.
Para ver la parte "no", considera , (un símbolo de una sola función); no puedes escribir eso es inyectivo sin referirse a él, obviamente.
Por otro lado, si tienes , dónde es un ( -) símbolo de función definible, entonces si toma la definición de , entonces puedes simplemente reemplazar cada ocurrencia de en una oración por su definición. Por ejemplo