Un curioso producto infinito de factoriales

Question

Un curioso producto infinito de factoriales

análisis
factorial
conjeturas
Matemáticas
función gamma
producto infinito

Vladímir Reshetnikov

Encontré el siguiente producto infinito de factoriales sin prueba:

\prod_{norte = 1}^{\infty} \frac{{(2 norte)!}^{20} {(8 norte)!}^{32} {(32 norte)!}^{2}}{{norte!}^{4} {(4 norte)!}^{37} {(dieciséis norte)!}^{13}} = \frac{{pecado}^{14} \frac{π}{8} \cdot pecado \frac{π}{32} \cdot pecado \frac{3 π}{32} \cdot pecado \frac{5 π}{32} \cdot pecado \frac{7 π}{32}}{{pecado}^{6} \frac{π}{dieciséis} \cdot {pecado}^{6} \frac{3 π}{dieciséis}} \cdot \frac{2^{1283 / 64} π^{14} Γ^{10} (\frac{1}{8}) Γ^{2} (\frac{5}{32}) Γ^{2} (\frac{7}{32})}{Γ^{18} (\frac{5}{8}) Γ^{10} (\frac{1}{dieciséis}) Γ^{10} (\frac{3}{dieciséis}) Γ^{2} (\frac{17}{32}) Γ^{2} (\frac{19}{32})} .

$\small\prod_{n=1}^\infty\frac{{(2 n)!}^{20}\,{(8 n)!}^{32}\,{(32 n)!}^2}{{n!}^4\,{(4 n)!}^{37}\,{(16 n)!}^{13}}=\\\frac{\sin ^{14}\!\frac{\pi }{8}\cdot\sin \frac{\pi }{32} \cdot\sin \frac{3 \pi }{32} \cdot\sin \frac{5 \pi }{32} \cdot\sin \frac{7 \pi }{32}}{\sin ^6\!\frac{\pi }{16} \cdot\sin ^6\!\frac{3\pi }{16}}\cdot \frac{2^{1283/64}\,\pi^{14}\,\Gamma^{10} \!\left(\frac{1}{8}\right) \Gamma^2\! \left(\frac{5}{32}\right) \Gamma^2 \!\left(\frac{7}{32}\right)}{\Gamma^{18} \!\left(\frac{5}{8}\right) \Gamma^{10} \!\left(\frac{1}{16}\right) \Gamma^{10} \!\left(\frac{3}{16}\right) \Gamma^2 \!\left(\frac{17}{32}\right) \Gamma^2 \!\left(\frac{19}{32}\right)}.$ Podemos verificar que

\frac{{(2 norte)!}^{20} {(8 norte)!}^{32} {(32 norte)!}^{2}}{{norte!}^{4} {(4 norte)!}^{37} {(dieciséis norte)!}^{13}} = 1 + O ({norte}^{- 3}),

$\small\frac{{(2 n)!}^{20}\,{(8 n)!}^{32}\,{(32 n)!}^2}{{n!}^4\,{(4 n)!}^{37}\,{(16 n)!}^{13}}=1+\mathcal O\left(n^{-3}\right),$ por lo que el producto de hecho converge.

¿Puedes sugerir cómo probar su forma cerrada a la derecha?
¿Es posible simplificarlo más?
¿Es posible encontrar un producto infinito convergente más simple de esta forma (que involucre solo potencias enteras de factoriales de múltiplos enteros de $n$ )?

PrincesaEev

Tengo curiosidad, ¿cómo encontrarías algo como esto sin pruebas? ¿Lo encontraste mencionado en alguna parte?

Vladímir Reshetnikov

La posible forma cerrada de la derecha se obtiene utilizando un algoritmo de relación de números enteros sobre un conjunto de factores plausibles. Se confirma mediante cálculos numéricos de alta precisión.

Vladímir Reshetnikov

Una observación: podemos usar el símbolo de Pochhammer para reescribir

\frac{{(2 n)!}^{20} {(8 n)!}^{32} {(32 n)!}^{2}}{{n!}^{4} {(4 n)!}^{37} {(16 n)!}^{13}} = \frac{{(2 n + \frac{1}{2})}_{2 n}^{12} {(8 n + \frac{1}{2})}_{8 n}^{2}}{{(n + \frac{1}{2})}_{n}^{4} {(4 n + \frac{1}{2})}_{4 n}^{9}} .

$\frac{{(2 n)!}^{20}\,{(8 n)!}^{32}\,{(32 n)!}^2}{{n!}^4\,{(4 n)!}^{37}\,{(16 n)!}^{13}}=\frac{\left(2 n+\frac{1}{2}\right)_{2 n}^{12}\,\left(8 n+\frac{1}{2}\right)_{8 n}^2}{\left(n+\frac{1}{2}\right)_n^4\,\left(4 n+\frac{1}{2}\right)_{4 n}^9}.$

andrea marino

¿Hay alguna identidad similar que involucre el producto de factoriales con prueba disponible en la literatura? Recuerdo algo, tal vez de Ramanujan, pero bastante vagamente.

Vladímir Reshetnikov

@AndreaMarino No creo haber visto nada parecido antes.

andrea marino

Ok, entonces, ¿qué hay de cortar en algunos

N

$N$ y tratando de contar cuantos números primos

p

$p$ aparecer, usando eso

v_{p} (n!) = [n / p] + [n / p^{2}] + \dots

$v_p(n!)= [n/p] + [n/p^2]+\ldots$ ? Luego podríamos transformar esto en un producto infinito sobre números primos y... no sé, espero que se convierta en algo mejor.

andrea marino

Quizás usando alguna versión refinada del teorema de Lucas uno podría estimar el módulo recordatorio p de cada factor. El teorema de Lucas da el recordatorio módulo p para binomios. ¿Tus factores son productos de binomios?

Respuestas (1)

Un curioso producto infinito de factoriales

Tengo curiosidad, ¿cómo encontrarías algo como esto sin pruebas? ¿Lo encontraste mencionado en alguna parte?
La posible forma cerrada de la derecha se obtiene utilizando un algoritmo de relación de números enteros sobre un conjunto de factores plausibles. Se confirma mediante cálculos numéricos de alta precisión.
Una observación: podemos usar el símbolo de Pochhammer para reescribir $\frac{{(2 n)!}^{20}\,{(8 n)!}^{32}\,{(32 n)!}^2}{{n!}^4\,{(4 n)!}^{37}\,{(16 n)!}^{13}}=\frac{\left(2 n+\frac{1}{2}\right)_{2 n}^{12}\,\left(8 n+\frac{1}{2}\right)_{8 n}^2}{\left(n+\frac{1}{2}\right)_n^4\,\left(4 n+\frac{1}{2}\right)_{4 n}^9}.$
¿Hay alguna identidad similar que involucre el producto de factoriales con prueba disponible en la literatura? Recuerdo algo, tal vez de Ramanujan, pero bastante vagamente.
Ok, entonces, ¿qué hay de cortar en algunos $N$ y tratando de contar cuantos números primos $p$ aparecer, usando eso $v_p(n!)= [n/p] + [n/p^2]+\ldots$ ? Luego podríamos transformar esto en un producto infinito sobre números primos y... no sé, espero que se convierta en algo mejor.
Quizás usando alguna versión refinada del teorema de Lucas uno podría estimar el módulo recordatorio p de cada factor. El teorema de Lucas da el recordatorio módulo p para binomios. ¿Tus factores son productos de binomios?

metamorfismo · Answer 1

Un resumen que tengo ahora es el siguiente.

Dejar $f(x)=\sum_{k=1}^d c_k x^k$ con $\sum_{k=1}^d c_k=\sum_{k=1}^d kc_k=0$ . Entonces
$\int_{0}^{\infty} \frac{F ({mi}^{a t}) d t}{t ({mi}^{b t} - 1)} = \sum_{k = 1}^{d} C_{k} registro Γ (1 - \frac{a k}{b}) . (b > 0, a < b / d)$ $\int_0^\infty\frac{f(e^{at})\,dt}{t(e^{bt}-1)}=\sum_{k=1}^d c_k\log\Gamma\left(1-\frac{ak}{b}\right).\qquad(b>0,a<b/d)$ si tambien $\sum_{k=1}^d c_k/k=\sum_{k=1}^d c_k\log k=\sum_{k=1}^d kc_k\log k=0$ , entonces $\sum_{norte = 1}^{\infty} \sum_{k = 1}^{d} C_{k} registro [(k norte)!] = \int_{0}^{\infty} \frac{gramo ({mi}^{t}) d t}{t ({mi}^{t} - 1)}, gramo (X) = \sum_{k = 1}^{d} \frac{C_{k}}{X^{k} - 1} .$ $\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^d c_k\log[(kn)!]=\int_0^\infty\frac{g(e^t)\,dt}{t(e^t-1)},\qquad g(x)=\sum_{k=1}^d\frac{c_k}{x^k-1}.$

La primera parte se obtiene usando la representación integral

registro Γ (1 + z) = \int_{0}^{\infty} (z - \frac{1 - {mi}^{- z t}}{1 - {mi}^{- t}}) \frac{{mi}^{- t}}{t} d t (ℜ z > - 1)

$\log\Gamma(1+z)=\int_0^\infty\left(\color{blue}{z}-\frac{\color{blue}{1}-e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)\frac{e^{-t}}{t}\,dt\qquad(\Re z>-1)$ (atribuido a Malmsten ; sigue de éste por Gauss). las condiciones en

c_{k}

$c_k$ (que son básicamente

f (1) = f^{'} (1) = 0

$f(1)=f'(1)=0$ ) asegurar que el integrando no tiene singularidad en

t = 0

$t=0$ , y que las partes "azules" de la última integral desaparecen cuando se suman.

La segunda parte se seguiría de la primera si pudiéramos justificar $\sum\int\mapsto\int\sum$ (y luego las condiciones adicionales en $c_k$ -que son imprescindibles- no tendrían de dónde venir). Dejar

r_{norte} (t) = \sum_{norte = norte}^{\infty} \sum_{k = 1}^{d} C_{k} {mi}^{- norte k t};

$r_N(t)=\sum_{n=N}^\infty\sum_{k=1}^d c_k e^{-nkt};$ entonces

r_{N} (t / N) / N

$r_N(t/N)/N$ y

r_{N}^{'} (t / N) / N^{2}

$r_N'(t/N)/N^2$ tienen límites finitos como

N \to \infty

$N\to\infty$ , es decir

sup_{t > 0} | r_{N} (t) |

$\sup_{t>0}|r_N(t)|$ se comporta como

O (N)

$O(N)$ ; no podemos justificar

\int_{0}^{\infty} \frac{r_{N} (t)}{t (e^{t} - 1)} d t \to 0

$\int_0^\infty\frac{r_N(t)}{t(e^t-1)}\,dt\to 0$ como

N \to \infty

$N\to\infty$ . Una solución es considerar

λ (z) := registro Γ (1 + z) - (z + \frac{1}{2}) registro z + z - \frac{1}{2} registro 2 π - \frac{1}{12 z};

$\lambda(z):=\log\Gamma(1+z)-\left(z+\frac12\right)\log z+z-\frac12\log 2\pi-\frac1{12z};$ entonces

\sum_{k = 1}^{d} c_{k} \log [(k n)!] = \sum_{k = 1}^{d} c_{k} λ (k n)

$\sum_{k=1}^d c_k\log[(kn)!]=\sum_{k=1}^d c_k\lambda(kn)$ y, gracias a

λ (z) = \int_{0}^{\infty} ρ (t) {mi}^{- z t} d t, ρ (t) := \frac{1}{t} (\frac{1}{2} - \frac{1}{t} + \frac{1}{{mi}^{t} - 1}) - \frac{1}{12},

$\lambda(z)=\int_0^\infty\rho(t)e^{-zt}\,dt,\qquad\rho(t):=\frac1t\left(\frac12-\frac1t+\frac1{e^t-1}\right)-\frac1{12},$ somos capaces de mostrar

\int_{0}^{\infty} ρ (t) r_{N} (t) d t \to 0

$\int_0^\infty\rho(t)r_N(t)\,dt\to 0$ (como

N \to \infty

$N\to\infty$ ) desde ahora

ρ (t) = O (t^{2})

$\rho(t)=O(t^2)$ como

t \to 0

$t\to 0$ .

En nuestro caso, $f(x)=2x^{32}-13x^{16}+32x^8-37x^4+20x^2-4x$ cumple con todas las condiciones, y tenemos $g(x)/(x-1)=p(x)/(x^{32}-1)$ con $p(x)$ un polinomio de grado $30$ . Esto da una expresión para el producto dado en términos de $\Gamma(\cdot/32)$ , y queda reducir la base de estos valores utilizando las fórmulas de multiplicación/reflexión para $\Gamma$ .

(Todavía editando la respuesta, para incluir un cálculo y posiblemente un producto más simple).

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metamorfismo

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