¿Hay alguna función especial que pueda relacionarse con un factorial descendente generalizado como la función gamma se relaciona con el factorial descendente ordinario?

Question

¿Hay alguna función especial que pueda relacionarse con un factorial descendente generalizado como la función gamma se relaciona con el factorial descendente ordinario?

factorial
Matemáticas
función gamma

ajbg

Se puede demostrar que el factorial descendente está relacionado con la función gamma de acuerdo con: $(x)_n = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}$ .

Considere un factorial descendente generalizado de la forma: $(x)_{n\lambda}=x(x-\lambda)(x-2\lambda)...(x-(n-1)\lambda)$ , dónde $\lambda$ no es una constante que se pueda factorizar.

Pregunta: ¿Existe alguna función modificada ("gamma") que produzca una relación similar a la que existe entre el factorial descendente ordinario y la función gamma? Por favor, tenga en cuenta que el problema no se reduce a: $(x)_{n\lambda}=\lambda^{n}(\frac{x}{\lambda})_n$

Hans Lundmark

Si

λ

$\lambda$ no es una constante, entonces ¿qué es?

jair taylor

yo obtengo

(X)_{norte λ} = X (X - λ) (X - 2 λ) \dots (X - (norte - 1) λ) = λ^{norte} (X / λ) (X / λ - 1) (X / λ - 2) \dots (X / λ - (norte - 1)) = λ^{norte} (X / λ)_{norte} .

$(x)_{n\lambda}= x(x-\lambda)(x-2\lambda)\cdots (x-(n-1)\lambda) = \lambda^n (x/\lambda)(x/\lambda-1)(x/\lambda-2)\cdots (x/\lambda-(n-1)) = \lambda^n (x/\lambda)_n.$ ¿Me estoy perdiendo de algo?

ajbg

La cuestión es que en realidad estoy trabajando en un anillo de polinomios que involucra operadores que no conmutan como indeterminados.

Respuestas (1)

¿Hay alguna función especial que pueda relacionarse con un factorial descendente generalizado como la función gamma se relaciona con el factorial descendente ordinario?

yo obtengo $(X)_{norte λ} = X (X - λ) (X - 2 λ) \dots (X - (norte - 1) λ) = λ^{norte} (X / λ) (X / λ - 1) (X / λ - 2) \dots (X / λ - (norte - 1)) = λ^{norte} (X / λ)_{norte} .$ $(x)_{n\lambda}= x(x-\lambda)(x-2\lambda)\cdots (x-(n-1)\lambda) = \lambda^n (x/\lambda)(x/\lambda-1)(x/\lambda-2)\cdots (x/\lambda-(n-1)) = \lambda^n (x/\lambda)_n.$ ¿Me estoy perdiendo de algo?
La cuestión es que en realidad estoy trabajando en un anillo de polinomios que involucra operadores que no conmutan como indeterminados.

jair taylor · Answer 1

Alquiler

A_{k} (norte) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{k} {mi}^{- X / k} X^{norte / k} d X

$A_k(n) = \int_{0}^\infty \frac{1}{k} e^{-x/k} x^{n/k} \, dx$

Vemos, por integración por partes, que

A_{k} (norte) = norte A_{k} (norte - k)

$A_k(n) = n A_k(n-k)$

y además $A_k(0) = 1$ .

Por lo tanto, para $n$ un múltiplo de $k$ , vemos por inducción que

A_{k} (norte) = norte \cdot (norte - k) \cdot (norte - 2 k) \cdot \dots \cdot 1

$A_k(n) = n \cdot (n-k) \cdot (n-2k) \cdot \cdots \cdot 1$

y entonces:

norte \cdot (norte - k) \cdot (norte - 2 k) \cdot \dots \cdot (norte - (i - 1) k) = A_{k} (norte) / A_{k} (norte - i k) .

$n \cdot (n-k) \cdot (n-2k) \cdot \cdots \cdot (n-(i-1)k) = A_k(n) / A_k(n-ik).$

De hecho esto vale para $n$ no es múltiplo de $k$ también.

Brillante, supongo que en su solución, ¿puede cualquier número complejo con parte real> 0?
@ajbg Creo que sí. Sin embargo, no lo he pensado completamente.
Jair. Si alguna vez lo uso, ¿cómo puedo darle el merecido crédito por esto? Además, ¿su artículo sobre la función cromática simétrica y la coloración hipergráfica está disponible en researchgate?
@albg Investigaría un poco más sobre funciones especiales antes de citarme por esto. Sin duda todo esto es "bien conocido". Sin embargo, aprecio el pensamiento.
@ajbg Acabo de mirar y no pude encontrarlo allí. ¿Estás buscando una copia? Hay un enlace en mi perfil. Sin embargo, el enlace a la versión 'más fácil' parece estar roto.

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