Encuentra el área máxima de un rectángulo colocado en un triángulo rectángulo

Question

Encuentra el área máxima de un rectángulo colocado en un triángulo rectángulo

asdqqq

Encuentra el área máxima de un rectángulo colocado en un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ .

Mi trabajo:

Pitágoras: $C^{2} = a^{2} + b^{2}$ $c^2=a^2+b^2$
Área de un triángulo: $triángulo de área = \frac{1}{2} \times triángulo de altura \times triangulo ancho = \frac{1}{2} \times a \times b$ $\text{area triangle}=\frac{1}{2}\times\text{height triangle}\times\text{width triangle}=\frac{1}{2}\times a \times b$
Área de un rectángulo: $rectángulo de área = rectángulo de altura \times rectángulo de ancho = h \times w$ $\text{area rectangle}=\text{height rectangle}\times\text{width rectangle}= h \times w$
Y lógicamente sabemos que: $triángulo de área > rectángulo de área$ $\text{area triangle}>\text{area rectangle}$

Ahora, ¿cómo continuar?

usuario371838

Trate de generalizar el resultado dado aquí .

david k

Hay muchas otras preguntas en este sitio que son esencialmente iguales a esta, pero con números específicos en lugar de

a,

$a,$

b,

$b,$ y

c .

$c.$ Las soluciones se generalizan fácilmente. ¿Intentaste buscar alguno de ellos? (Busque "rectángulo triángulo rectángulo", por ejemplo).

david k

En particular, consulte math.stackexchange.com/questions/1911117/… y math.stackexchange.com/questions/1895231/…

Respuestas (3)

Encuentra el área máxima de un rectángulo colocado en un triángulo rectángulo

Hay muchas otras preguntas en este sitio que son esencialmente iguales a esta, pero con números específicos en lugar de $a,$ $b,$ y $c.$ Las soluciones se generalizan fácilmente. ¿Intentaste buscar alguno de ellos? (Busque "rectángulo triángulo rectángulo", por ejemplo).
En particular, consulte math.stackexchange.com/questions/1911117/… y math.stackexchange.com/questions/1895231/…

el arquitecto · Answer 1

El área del Rectángulo es la mitad del área del triángulo, y esto es incluso universal y no depende de que el triángulo sea rectángulo.

Elige la base del triángulo que es más larga que tiene longitud $b$ y altura asociada $h$ . Ahora puedes colocar allí un triángulo de ancho $b/2$ y altura $h/2$ .

Debe haber una posición donde encaje ya que a la mitad de la altura el triángulo tiene todavía la mitad de su ancho por el teorema de la intercepción.

Entonces el área del rectángulo está dada por $\frac{b}{2} \frac{h}{2} = b h / 4$ y como tal tiene la mitad del área del triángulo.

Para ver una ilustración, consulte http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Class/Pearman/rectangle.triangle/rect.tri.html

En un triángulo rectángulo o un triángulo agudo, ni siquiera necesitas usar el lado más grande para colocar la base de tu triángulo. Eso se requiere solo para triángulos obtusos.
La parte superior del rectángulo es la línea que une los puntos medios de los otros dos lados.

joffan · Answer 2

Para $\triangle ABC$ , elige el lado más largo, $AB$ , como su base, longitud $b$ . Luego puedes elegir el ancho del rectángulo como una proporción $p$ de esa longitud, y la altura será la proporción inversa, $(1-p)$ de la altitud de $C$ , $h$ , eligiendo las esquinas del rectángulo a ser $p$ de la longitud del lado de $C$ a $A$ y $B$ .

entonces el area del rectangulo es $pb(1-p)h = p(1-p)2T$ , dónde $T$ es área de $\triangle ABC$ . $p(1-p)$ tiene ceros en $0$ y $1$ y es máximo en $p=0.5$ . Así, el rectángulo máximo con área de $T/2$ se produce uniendo los puntos medios de los lados menores y cayendo perpendicularmente al lado mayor.

Jack D´Aurizio · Answer 3

Tenemos que considerar dos casos: un rectángulo inscrito con un lado en la hipotenusa; un rectángulo inscrito con un vértice en el ángulo recto. En el primer caso, el área máxima se logra cuando un lado del rectángulo cruza el punto medio de la altura representada; en el segundo caso el área máxima se alcanza cuando un vértice del rectángulo es el punto medio de la hipotenusa. En ambos casos, el área máxima es solo la mitad del área del triángulo original, por lo tanto $\frac{ab}{4}$ . Por otro lado, el área de un rectángulo inscrito no puede exceder la mitad del área del triángulo original, ya que al "doblar" las regiones blancas sobre el rectángulo azul inscrito, cubrimos completamente el rectángulo:

Encuentra el área máxima de un rectángulo colocado en un triángulo rectángulo

asdqqq

usuario371838

david k

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Respuestas (3)

el arquitecto

david k

joffan

joffan

Jack D´Aurizio

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