Dada la longitud de dos alturas y un lado, encuentre el área del triángulo.

Question

Dada la longitud de dos alturas y un lado, encuentre el área del triángulo.

un Googler

Segmentos $BE$ y $CF$ son las altitudes en $\triangle ABC$ .
$E$ está en linea $AC$ y $F$ está en linea $AB$ .
$BC = 65$ , $BE = 60$ y $CF = 56$ .
Encontrar $A(\triangle ABC)/100$ .

cifra

Por el teorema de Pitágoras, $CE=25$ , y $BF= 33$ .
Si la longitud de la altitud desde $A$ a B $C$ se puede calcular entonces el área de $\triangle ABC$ se puede calcular ya que la longitud de $BC$ es conocida.
Pero estoy atascado aquí, por lo que cualquier sugerencia es apreciada.

André Nicolás

Uno puede molerlo. Dejar

x = E A

$x=EA$ y

y = F A

$y=FA$ . por zonas,

60 (x + 25) = 56 (y + 33)

$60(x+25)=56(y+33)$ . Entonces el Teorema de Pitágoras nos da otra ecuación (o dos). Resolver. Sin duda, también hay una manera inteligente.

un Googler

@AndréNicolas Lo tengo, pero resolver esas ecuaciones llevaría mucho tiempo, entonces, ¿cuál es la forma inteligente?

André Nicolás

@AGoogler: ¡La solución de Sawarnik califica!

Sawarnik

Tengo una pregunta relacionada para ti. Si

m_{a} = 12

$m_a=12$ y

m_{b} = 9

$m_b=9$ son medianas, y el otro lado es

c = 10

$c=10$ . Entonces el área sería?

un Googler

@ Sawarnik 12 es la longitud de la mediana de A a BC, ¿verdad?

Sawarnik

@AGoogler Correcto.

c

$c$ es

A B

$AB$ .

un Googler

@Sawarnik Puedo hacerlo algebraicamente. Usando el teorema de Apolonio dos veces (una vez para cada mediana) y luego obteniendo el valor de

a

$a$ y

b

$b$ . Luego se puede calcular el área usando la fórmula de Garza. Pero este enfoque llevará mucho tiempo y tengo un poco de sueño en este momento. ¿Tienes alguna manera mejor?

Sawarnik

@AGoogler Sí, hay un mejor enfoque. Puedes ver

∠ G A B

$\angle GAB$ , donde G es el centroide es un ángulo recto. Entonces el área de la

A B X Y

$ABXY$ , donde X,Y los puntos medios de los otros lados, es 54. Ahora

A B C = A B X Y + X Y C = 54 + A B C / 4

$ABC=ABXY+XYC=54+ABC/4$ . Buenas noches :)

un Googler

@Sawarnik, ¿quieres decir ángulo?

A G B

$AGB$ es un angulo recto?

Sawarnik

¡Oh sí! Se sigue del teorema inverso de Pitágoras.

un Googler

@Sawarnik sí, lo tengo. Pero, ¿y si no es un ángulo recto? ¿Se te ocurre un mejor enfoque en ese caso?

Sawarnik

@AGoogler Puedes probar fácilmente un teorema más general

A = \frac{4}{3} m_{a} m_{b} \sin θ

$A=\frac{4}{3}m_a m_b \sin \theta$ , dónde

θ

$\theta$ es el ángulo de intersección de las dos medianas, aunque no estoy seguro de cuán útil es esto. Por ejemplo, el triángulo que acabamos de describir tiene el área máxima de cualquier triángulo con medianas 12 y 9, puede ser un corolario de esto.

Respuestas (2)

Dada la longitud de dos alturas y un lado, encuentre el área del triángulo.

Uno puede molerlo. Dejar $x=EA$ y $y=FA$ . por zonas, $60(x+25)=56(y+33)$ . Entonces el Teorema de Pitágoras nos da otra ecuación (o dos). Resolver. Sin duda, también hay una manera inteligente.
@AndréNicolas Lo tengo, pero resolver esas ecuaciones llevaría mucho tiempo, entonces, ¿cuál es la forma inteligente?
Tengo una pregunta relacionada para ti. Si $m_a=12$ y $m_b=9$ son medianas, y el otro lado es $c=10$ . Entonces el área sería?
@ Sawarnik 12 es la longitud de la mediana de A a BC, ¿verdad?
@Sawarnik Puedo hacerlo algebraicamente. Usando el teorema de Apolonio dos veces (una vez para cada mediana) y luego obteniendo el valor de $a$ y $b$ . Luego se puede calcular el área usando la fórmula de Garza. Pero este enfoque llevará mucho tiempo y tengo un poco de sueño en este momento. ¿Tienes alguna manera mejor?
@AGoogler Sí, hay un mejor enfoque. Puedes ver $\angle GAB$ , donde G es el centroide es un ángulo recto. Entonces el área de la $ABXY$ , donde X,Y los puntos medios de los otros lados, es 54. Ahora $ABC=ABXY+XYC=54+ABC/4$ . Buenas noches :)
@Sawarnik, ¿quieres decir ángulo? $AGB$ es un angulo recto?
@Sawarnik sí, lo tengo. Pero, ¿y si no es un ángulo recto? ¿Se te ocurre un mejor enfoque en ese caso?
@AGoogler Puedes probar fácilmente un teorema más general $A=\frac{4}{3}m_a m_b \sin \theta$ , dónde $\theta$ es el ángulo de intersección de las dos medianas, aunque no estoy seguro de cuán útil es esto. Por ejemplo, el triángulo que acabamos de describir tiene el área máxima de cualquier triángulo con medianas 12 y 9, puede ser un corolario de esto.

Sawarnik · Answer 1

tenemos eso $\cot C=25/60$ y $\cot B=33/56$ .

Ahora usa la fórmula del área:

Área = \frac{a^{2}}{2 (cuna B + cuna C)}

$\text{Area}=\frac{a^2}{2(\cot B + \cot C)}$

De este modo:

\frac{(A B C)}{100} = \frac{{sesenta y cinco}^{2}}{200 (\frac{25}{60} + \frac{33}{56})} = \frac{13^{2}}{8 (\frac{25}{60} + \frac{33}{56})} = \frac{13^{2}}{\frac{10}{3} + \frac{33}{7}} = \frac{13^{2}}{\frac{70 + 99}{21}} = 21

$\frac{(ABC)}{100}=\frac{65^2}{200(\frac{25}{60} + \frac{33}{56})}=\frac{13^2}{8(\frac{25}{60} + \frac{33}{56})}=\frac{13^2}{\frac{10}{3} + \frac{33}{7}}=\frac{13^2}{\frac{70+99}{21}}=21$

Nunca había visto esa fórmula antes. ¿Cómo se deriva esto?
@user112790 No es muy difícil, lo derivé una vez usando la regla del seno y la fórmula $2A=bc\sin A$ . Solo algunas manipulaciones y listo, aunque no estoy seguro de que esta sea la forma óptima. La verdad me ha parecido muy útil esta fórmula, no entiendo por qué la gente no la conoce o no la usa.
@Sawarnik ¡Gracias! ¿Pero por qué cambiaste la fórmula? En la versión anterior era algo así como $A=a/2(tan B + tan C)$ . ¿Son verdaderas ambas fórmulas (correcto)?
@AGoogler No, lo siento. Me confundí con las dos fórmulas. Ahora es correcto :)
@AGoogler ¿Puedes probar la fórmula? Te sugiero que recuerdes esto, porque siempre que te dan dos ángulos y un lado, esta fórmula ayuda mucho.
@Sawarnik No lo intenté, pero intentaré probarlo ahora. Gracias por el consejo, lo recordaré ahora. Tampoco lo pude encontrar en internet, ¿de dónde lo encontraste?
@AGoogler Fue un ejercicio en un libro de precálculo que tengo. Pero Mathworld y Wiki tienen la fórmula, ahora lo veo.
Su derivación es simple. Coloque una perpendicular desde A en BC. (Área del triángulo = 1/2 .bh). Ahora usa cot B y cot C para obtener la fórmula. (La derivación se le envía por correo).

Ajay · Answer 2

Ajay

Entrada MPA 2011. ¿Me puede decir la respuesta de Q.55 de Matemáticas 2010 de MPA. La mejor de las suertes para el 6 de abril. Yo también estoy allí.

Página 1

Página 2

Ajay

No se puede escribir con látex.

un Googler

¡Hola! Gracias por la respuesta . Trataré de resolver Q.55. ¡Mucha suerte para ti también!

Ajay

gracias pero cual es tu verdadero nombre ¿Cuántos fueron resueltos por usted?

un Googler

Me siento incómodo dando mi nombre real en línea. ¿Puedes enviarme un correo electrónico en su lugar? (agoogler@live.com) He resuelto unas 30 preguntas al azar. Aunque algunos de ellos fueron resueltos por mí hace meses. ¿Cuántos has resuelto?

Sawarnik

¿Las preguntas están disponibles en línea? A mí también me gustaría probarlos, ¡tienen preguntas muy bonitas!

un Googler

@Sawarnik Aquí - mprakashacademy.co.in/XI_SampleQuestions/Papersupto2013.pdf

Dada la longitud de dos alturas y un lado, encuentre el área del triángulo.

un Googler

André Nicolás

un Googler

André Nicolás

Sawarnik

un Googler

Sawarnik

un Googler

Sawarnik

un Googler

Sawarnik

un Googler

Sawarnik

Respuestas (2)

Sawarnik

laars helenio

Sawarnik

un Googler

Sawarnik

Sawarnik

un Googler

Sawarnik

Ajay

Ajay

Sawarnik

Ajay

Ajay

Ajay

un Googler

Ajay

un Googler

Sawarnik

un Googler