Órbita circular en coordenadas de Schwarzschild [cerrado]

La métrica del agujero negro de Schwarzschild es

$$ds^2=\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2-\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2).$$ Por lo tanto, el Lagrangiano de una partícula en este fondo es (con el tiempo adecuado $\tau$) $$L=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2-\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2-r^2\left(\left(\frac{d\theta}{d\tau}\right)^2+\sin^2\theta \left(\frac{d\phi}{d\tau}\right)^2\right)$$ La primera ecuación que puedes obtener de la restricción L=1 usando $r(\tau)=const.$, $\theta(\tau)=\frac{\pi}{2}$. Sin embargo, obtengo una raíz cuadrada adicional en comparación con la expresión que das, es decir $$u^t=t'(\tau)=\sqrt{\frac{1+r^2 \phi''(\tau)^2}{1-\frac{2M}{r}}}.$$ Para obtener todas las ecuaciones, simplemente puede resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange para $L$, es decir $$\frac{d}{d\tau}\frac{\partial L}{\partial t'}-\frac{\partial L}{\partial t}=0\\ \frac{d}{d\tau}\frac{\partial L}{\partial r'}-\frac{\partial L}{\partial r}=0\\ \frac{d}{d\tau}\frac{\partial L}{\partial \theta'}-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0\\ \frac{d}{d\tau}\frac{\partial L}{\partial \phi'}-\frac{\partial L}{\partial \phi}=0$$ darte $$-\frac{4 M r'(\tau) t'(\tau)}{r^2}-2 \left(1-\frac{2 M}{r}\right) t''(\tau)=0\\ -\frac{2 M r'(\tau)^2}{(-2 M+r)^2}+\frac{2 M t'(\tau)^2}{r^2}-2 r (\theta'(\tau)^2+\phi'(\tau)^2)+\frac{2 r''(\tau)}{1-\frac{2 M}{r}}=0\\ 2 r (2 (r'(\tau)\theta'(\tau)+r\theta''(\tau))=0\\ 2 r (2 (r'(\tau)\phi'(\tau)+r\phi''(\tau))=0$$ después de enchufar $r(\tau)=r=const.$y $\theta=\pi/2$. Verás, que puedes establecer consistentemente $r'(\tau)=0$, $\theta'(\tau)=0$, $\theta''(\tau)=0$y luego obtenga la segunda ecuación que estaba buscando de la segunda ecuación de Euler-Lagrange (con la ayuda de la primera ecuación que encontró).