máx. Entropía = mín. ¿Energía?

Question

máx. Entropía = mín. ¿Energía?

hulkster

Si un sistema cerrado tiene una entropía submáxima, podemos suponer que, en teoría, podemos extraer energía y, por lo tanto, el sistema pasa al estado de máxima entropía y no hay energía libre disponible. Por otro lado, todo sistema físico tiende a estar en un estado de mínima energía en el sentido de energía interna.

Por tanto, ¿podemos decir que el principio de máxima entropía es igual al principio de mínima energía ?

una mente curiosa

La "entropía (sub) máxima" no significa nada a menos que indique qué variables se mantienen constantes y cuáles varían aquí.

hulkster

@ACuriousMind Una vez interrumpí a un profesor visitante en un seminario y señalé lo mismo. Se enojó mucho.

una mente curiosa

Sin embargo, me temo que eso hace poco para aclarar su pregunta; a menos que lo especifique, no está realmente claro lo que está preguntando aquí.

Respuestas (2)

máx. Entropía = mín. ¿Energía?

La "entropía (sub) máxima" no significa nada a menos que indique qué variables se mantienen constantes y cuáles varían aquí.
@ACuriousMind Una vez interrumpí a un profesor visitante en un seminario y señalé lo mismo. Se enojó mucho.
Sin embargo, me temo que eso hace poco para aclarar su pregunta; a menos que lo especifique, no está realmente claro lo que está preguntando aquí.

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90 · Answer 1

Entropía máxima = energía mínima si y solo si se agrega la información correcta sobre las condiciones físicas.

Lo que se puede probar para cada sistema termodinámico es que la condición de máxima entropía a energía interna fija y a las variables extensivas restantes fijas (por ejemplo, volumen y número de partículas, para un sistema fluido típico), es equivalente a la condición de que la energía interna es mínimo a entropía fija (y a variables extensivas restantes fijas).

Probablemente la demostración facilita la comprensión de esta dualidad. Se puede encontrar en todos los buenos libros de texto de termodinámica como la Termodinámica de Callen y una Introducción a la Termoestadística . Lo resumiré a continuación.

En primer lugar, debe quedar claro que el máximo o el mínimo deben entenderse como condiciones con respecto a una o más variables que expresan las restricciones internas del sistema. Dejar $X$ indicar una única variable de restricción.

Si la entropía es máxima con respecto a $X$ , es un extremum y la condición

{\frac{\partial S}{\partial X} |}_{tu} = 0

$\left.\frac{\partial{S}}{\partial{X}} \right|_U = 0$ sostiene Pero una identidad bien conocida de derivadas parciales implica que

U

$U$ debe ser extremo

X

$X$ fijo

S

$S$ :

q = {\frac{\partial tu}{\partial X} |}_{S} = - \frac{{\frac{\partial S}{\partial X} |}_{tu}}{{\frac{\partial S}{\partial tu} |}_{X}} = 0, [1]

$Q=\left.\frac{\partial{U}}{\partial{X}}\right|_S = -\frac{\left.\frac{\partial{S}}{\partial{X}}\right|_U}{\left.\frac{\partial{S}}{\partial{U}}\right|_X}=0,~~~~~~[1]$ desde

{\frac{\partial S}{\partial U} |}_{X} = \frac{1}{T}

$\left.\frac{\partial{S}}{\partial{U}}\right|_X=\frac{1}{T}$ nunca puede ser cero.

Para mostrar que $U$ es un mínimo en fijo $S$ , si $S$ es un máximo en fijo $U$ , necesitamos obtener un resultado intermedio. Tenemos

{\frac{\partial q}{\partial X} |}_{S} = {\frac{\partial q}{\partial X} |}_{tu}

$\left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_S = \left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_U$ cuando

{\frac{\partial U}{\partial X} |}_{S} = 0

$\left.\frac{\partial{U}}{\partial{X}}\right|_S=0$ . Esto es consecuencia de la identidad.

{\frac{\partial Q}{\partial X} |}_{S} = {\frac{\partial Q}{\partial U} |}_{X} {\frac{\partial U}{\partial X} |}_{S} + {\frac{\partial Q}{\partial X} |}_{U}

$\left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_S = \left.\frac{\partial{Q}}{\partial{U}}\right|_X \left.\frac{\partial{U}}{\partial{X}}\right|_S + \left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_U$ .

Por lo tanto,

{\frac{\partial^{2} tu}{\partial X^{2}} |}_{S} = {\frac{\partial q}{\partial X} |}_{S} = {\frac{\partial q}{\partial X} |}_{tu} .

$\left.\frac{\partial^2{U}}{\partial{X}^2}\right|_S = \left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_S = \left.\frac{\partial{Q}}{\partial{X}}\right|_U.$ Necesitamos evaluar la derivada parcial wrt

X

$X$ , a constante

U

$U$ de la última razón en la ecuación [

1

$1$ ]. El término con la derivada del denominador desaparece porque se multiplica por

{\frac{\partial S}{\partial X} |}_{U}

$\left.\frac{\partial{S}}{\partial{X}} \right|_U$ que es cero (condición extrema). Así, recordamos con

{\frac{\partial^{2} tu}{\partial X^{2}} |}_{S} = - \frac{{\frac{\partial^{2} S}{\partial X^{2}} |}_{tu}}{{\frac{\partial S}{\partial tu} |}_{X}} = - T {\frac{\partial^{2} S}{\partial X^{2}} |}_{tu},

$\left.\frac{\partial^2{U}}{\partial{X}^2}\right|_S = -\frac{\left.\frac{\partial^2{S}}{\partial{X}^2}\right|_U}{\left.\frac{\partial{S}}{\partial{U}}\right|_X}= -T\left.\frac{\partial^2{S}}{\partial{X}^2}\right|_U,$ que es positivo si el extremo de

S

$S$ es un máximo.

Agregaría que se mantiene una dualidad max/min similar para las transformaciones legendre correspondientes de energía/entropía. Por ejemplo (aunque casi trivial), el principio de mínima energía libre de Helmholtz correspondería al máximo de la transformada de Legendre de entropía con respecto a la energía, $\tilde S(1/T,V,N) = S -\frac{U}{T}$ .

Mate · Answer 2

Mate

Un sistema cerrado permanecerá en la misma energía, mientras que su entropía, como dijiste, aumentará a su máximo. Por lo tanto, la entropía máxima es energía libre mínima, pero la energía total no se verá afectada.

hulkster

DE ACUERDO. Entonces, si el sistema puede interactuar con el medio ambiente, ¿disipará la energía interna libre para obtener el estado de energía mínima?

Mate

@Hulkster Bueno, esto es cierto incluso para sistemas no termodinámicos, supongo.

david blanco

@Hulkster, el estado de entropía de su sistema dice algo sobre cómo se distribuye la energía de ese sistema. Si la energía se distribuye uniformemente, incluso para un sistema de alta energía, no hay energía disponible para el trabajo. En efecto, una máquina térmica necesita una DIFERENCIA de temperatura (energía distribuida no uniformemente) para poder realizar el trabajo.

Mate

@DavidWhite No podría estar más de acuerdo.

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