Transición del espacio de coordenadas al espacio de momento para SHO

Me dan que el estado fundamental del SHO en el espacio de posición se da como

⟨ q | ψ 0 ⟩ = 1 a 1 2 π 1 4 mi − q / 4 a 2
Donde a es una constante con unidades de longitud. Luego se me pide que encuentre la distribución espacial de cantidad de movimiento correspondiente. Sé que esto estará relacionado con una transformada de Fourier, pero no estoy seguro de cómo ponerlo en esta notación. También sé:
⟨ q | pag ⟩ = C mi i pag q / ℏ .
Ahora para llegar de ⟨ q | ψ 0 ⟩ a ⟨ pag | ψ 0 ⟩ No estoy seguro de qué propiedades usar.

Sugerencia: utilice el hecho de que | α ⟩ = ∑ a ′ | a ′ ⟩ ⟨ a ′ | α ⟩ con ∑ a ′ | a ′ ⟩ ⟨ a ′ | = 1 .
¿Es esto lo mismo que hacer ⟨ pag | ψ 0 ⟩ = ⟨ pag | q ⟩ ⟨ q | ψ 0 ⟩ ?
Sí lo es, acabo de usar la forma generalizada para un ket arbitrario.
No del todo, todavía necesitas integrar...

Respuestas (1)

Como muy a menudo en este tipo de pruebas, solo necesitamos usar una relación de completitud: Tenemos,

⟨ pag | ψ 0 ⟩ = ⟨ pag | ∫ d q | q ⟩ ⟨ q | ψ 0 ⟩ = ∫ d q mi − i pag q ⟨ q | ψ 0 ⟩ = 1 a π ∫ d q mi − i pag q mi − q 2 / 4 a 2 = 1 a π 2 a π mi − a 2 pag 2 = 2 a π mi − pag 2 / a 2
La integral es simplemente una Gaussiana. Tenga en cuenta que puede obtener un resultado ligeramente diferente debido a las normalizaciones, etc.

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