paquete de ondas gaussianas

Question

paquete de ondas gaussianas

Física
función de onda
Transformada de Fourier
mecánica cuántica
deberes-y-ejercicios
Principio de incertidumbre de Heisenberg

71GA

En nuestra introducción de QM, nuestro profesor dijo que derivamos el principio de incertidumbre usando la integral de ondas planas. $\psi = \psi_0(k) e^{i(kx - \omega t)}$ sobre números de onda $k$ . lo hacemos en $t=0$ por eso $\psi = \psi_0(k) e^{ikx}$

ψ = \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ_{0} (k) \cdot {mi}^{i k X} d k

$\psi = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \psi_0\!(k) \cdot e^{ikx} \, \textrm{d} k$

dónde $\psi_0(k)$ es un $k$ -factor de normalización dependiente (corríjame si me equivoco). Se dijo que esta dependencia era una función gaussiana

ψ_{0} (k) = ψ_{0} {mi}^{i (k - k_{0})^{2} / 4 σ k^{2}}

$\psi_0(k)= \psi_0 e^{i(k-k_0)^2/4\sigma k^2}$

dónde $\psi_0$ es un factor de normalización ordinario (corríjame si me equivoco).

PREGUNTA 1: ¿Por qué elegimos $\psi_0(k)$ como una función gaussiana? ¿Por qué esta función es tan apropiada en este caso?

PREGUNTA 2: No sé cómo obtuvo nuestro profesor una función gaussiana con un número imaginario $i$ en eso. Su gaussiano no se parece en nada al de Wikipedia , que es

F (X) = a {mi}^{- (X - b)^{2} / 2 C^{2}}

$f(x) = a e^{-(x-b)^2/2c^2}$

PREGUNTA 3: Usamos la primera integral que escribí para calcular el principio de incertidumbre de Heisenberg como se muestra a continuación, pero me parece que faltan la mayoría de los pasos y esta es la razón por la que no entiendo esto. Alguien podría explicarme paso a paso como hacer esto.

\begin{aligned} ψ & = \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ_{0} (k) \cdot {mi}^{i k X} d k \\ ψ & = \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ_{0} {mi}^{i (k - k_{0})^{2} / 4 σ k^{2}} \cdot {mi}^{i k X} d k \\ ψ & = ψ_{0} 2 \sqrt{π} {mi}^{i k_{0} X} {mi}^{- X / 2 σ k^{2}} \end{aligned}

$\begin{split} \psi &= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \psi_0\!(k) \cdot e^{ikx} \, \textrm{d} k\\ \psi &= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \psi_0 e^{i(k-k_0)^2/4\sigma k^2} \cdot e^{ikx} \, \textrm{d} k\\ \psi &= \psi_0 2 \sqrt{\pi} e^{ik_0x} e^{-x/2 \sigma k^2} \end{split}$

Creo que esto está conectado a una integral gaussiana , pero a mí no me lo parece. Bueno, al final nuestro profesor solo dice que de lo anterior se deduce que

d X d k = \frac{1}{2}

$\boxed{\delta x \delta k = \frac{1}{2}}$

Yo tampoco entiendo esto. Fue demasiado rápido para mí.

Vibert

Para la pregunta 1): en primer lugar, su maestro probablemente estaba pensando en paquetes de ondas, que intuitivamente son más o menos gaussianos; no es exagerado pensar que un paquete de ondas debería tener un número de onda medio

k_{0}

$k_0$ y alguna variación

σ

$\sigma$ . También hay una razón matemática: el límite que está derivando se mantiene para todos los posibles

L^{2}

$L^2$ funciones, y la Gaussiana es la única que la satura. Entonces, además de hacer la prueba completa, es el caso de prueba más interesante con el que puede trabajar.

Emilio Pisanty

Parece que la etiqueta de tarea se aplica incluso si esto no es realmente un problema de tarea.

Ruslán

Se selecciona la función de onda gaussiana porque minimiza el valor de la incertidumbre para

ℏ / 2

$\hbar/2$ . Para cualquier otra forma la incertidumbre es mayor.

Respuestas (1)

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Para la pregunta 1): en primer lugar, su maestro probablemente estaba pensando en paquetes de ondas, que intuitivamente son más o menos gaussianos; no es exagerado pensar que un paquete de ondas debería tener un número de onda medio $k_0$ y alguna variación $\sigma$ . También hay una razón matemática: el límite que está derivando se mantiene para todos los posibles $L^2$ funciones, y la Gaussiana es la única que la satura. Entonces, además de hacer la prueba completa, es el caso de prueba más interesante con el que puede trabajar.
Parece que la etiqueta de tarea se aplica incluso si esto no es realmente un problema de tarea.
Se selecciona la función de onda gaussiana porque minimiza el valor de la incertidumbre para $\hbar/2$ . Para cualquier otra forma la incertidumbre es mayor.

JKL · Answer 1

Es difícil saber qué ha hecho exactamente el profesor, pero por lo que he entendido hizo un esfuerzo para ayudar a la situación.

Q1. Se elige una función gaussiana para representar una función de onda que se expande libremente por varias razones:

(i) La función gaussiana representa una función de distribución de probabilidad normal. Desde $|\psi(x)|^2$ representa una función de distribución de probabilidad para una gran clase de partículas que se mueven de manera similar y tienen un momento dentro de un cierto rango, el teorema de los grandes números apunta hacia una función gaussiana, para representar la función de onda de las partículas dentro de una región del espacio determinada por el ancho, $\sigma$ , de la función gaussiana. El $\sigma$ también pasa a ser la desviación estándar, es decir, la incertidumbre en la posición de la partícula.

(ii) El valor esperado de la posición de la partícula resulta ser el valor de $b$ en su paquete de ondas gaussianas.

(iii) El paquete de ondas gaussianas también contiene el bit ondulado que muestra el factor de fase

$e^{ikx}$ .

Esto es lo que hace que los paquetes de ondas gaussianas sean una excelente representación de partículas, que se sabe que están ubicadas dentro de alguna región de ancho. $w$ , pero sin embargo todos se mueven como ondas planas mientras el paquete viaja por el espacio.

(iv) El paquete de ondas está formado por un número infinitamente grande de valores de cantidad de movimiento en un ancho de cantidad de movimiento que se relaciona con $\sigma$ por una transformación de Fourier.

Q2. Entonces, para poner un poco de orden en todo esto, consideremos la función gaussiana general

$\psi(x)=\psi_0e^{-A(x-x_0)^2+Bx+C}$

que tiene una transformación de Fourier

$\psi(k)=\psi_0\sqrt{\frac{\pi}{A}}e^{\frac{B^2}{4A}+Bx_0+C}$ .

La constante de normalización $\psi_0$ viene dada por una integración en el rango [- $\infty, +\infty$ ] y tiene el valor $\sqrt{\frac{A}{\pi}}$ pero déjalo como $\psi_0$ .

Q3. Para ponerse en contacto con su profesor, intente aplicar estos resultados usando lo siguiente:

$A=\frac{1}{2\sigma^2}$

$B=ik$

$x_0=b$

$C=0$

Creo que nuestro profesor estaba dando una conferencia usando este documento ( tjhsst.edu/~2011akessler/notes/hup.pdf ) donde usan una raíz suar de gauss, así que aquí es donde obtuvo $\psi_0(k)$ : $\psi_0(k)= \sqrt{\text{gauss}} = \sqrt{\psi_0 e^{-(k-k_0)^2/2\sigma_k^2}} = \psi_0 e^{-(k-k_0)^2/4\sigma_k^2}$
@71GA Gracias por sus notas. No creo que la raíz cuadrada deba hacer ninguna diferencia en la forma del principio de incertidumbre, ya que solo produce un factor de escala de 1/2. Sin embargo, no estoy seguro de por qué uno debería preferir pasar por la raíz cuadrada.

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Vibert

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