¿Existe un polinomio que detecte cuando las dos raíces más pequeñas de un polinomio real dado son iguales?

El discriminante de un polinomio sobre un campo es una función polinomial "universal"* de sus coeficientes , que es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple en alguna extensión de campo.

Ahora, limitemos la discusión a los polinomios. pag ( X ) ∈ R [ X ] con coeficientes reales, con todas sus raíces reales y no negativas.

¿Existe un polinomio "universal"* en los coeficientes de tales pag ( X ) , que es cero si y solo si las dos raíces más pequeñas de pag ( X ) ¿son iguales?

(equivalentemente, la raíz más pequeña de pag tiene una multiplicidad mayor que 1 ).

Si no, ¿existe tal función real-analítica universal de los coeficientes?

*Por "universal", quiero decir que los coeficientes del discriminante son independientes de pag .

Si las dos raíces más pequeñas son iguales, ¿no hace eso que la multiplicidad de la raíz más pequeña sea al menos 2 ?
Sí, pero pedí una condición de "si y solo si".
Sí, pero como se indicó, está diciendo que debería ser cero si y solo si la multiplicidad es uno.
@MPW Sospecho que el OP omitió un > símbolo.
@MPW Sí, omití un "mayor que". Gracias por tu comentario.
Ok, lo siento, solo trato de entender la pregunta. ¿Puedes aclarar? Estás buscando una función de los coeficientes de pag que se desvanece precisamente cuando la raíz más pequeña de pag es una raíz múltiple, ¿verdad?
@MPW Sí, exactamente. Soy bastante escéptico de que tal cosa exista, pero pensé en preguntar de todos modos y ver qué pasa ...
Una función polinomial sobre los coeficientes de pag es una función simétrica de las raíces de pag y así no puede distinguir las raíces.
@lhf En realidad, no veo un problema aquí: el hecho de que la función sea simétrica en las raíces solo significa que, de hecho, es una función en la tupla desordenada de las raíces. Pero en tales tuplas podemos distinguir entre alta multiplicidad del número más pequeño en la tupla y alta multiplicidad de otros elementos. ¿Me estoy perdiendo de algo?

Respuestas (1)

No, no para cualquier grado de polinomios mayor que 2 (Consideraré cúbicos pero el caso general es similar). De hecho, suponga que tiene una función analítica real tan universal q para cúbicos; escribiremos q ( pag ) para q aplicado a los coeficientes de una cúbica pag . Dejar F ( t ) = q ( ( X − t ) 2 ( X − 1 ) ) . Entonces F es real-analítico. Sin embargo, F ( t ) = 0 para todos t ∈ ( 0 , 1 ] y F ( t ) ≠ 0 para todos t > 1 , que no es posible para una función analítica real.

¿Existe un polinomio que detecte cuando las dos raíces más pequeñas de un polinomio real dado son iguales?
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