¿Cómo resolver esta ecuación algebraica de octavo grado resoluble por radicales?

Bueno, en honor a una vieja caricatura, diré que ocurre un milagro. Pero, ¿podemos ponernos detrás de la cortina para ver cómo se hacen los efectos especiales?

Si sacas la raíz cuadrada de, digamos,$2358$por el método estándar de "división larga", se obtiene$48$con un resto de$54$, que puede interpretarse como la ecuación

$2358=48^2+54.$

Podemos adaptar este método para determinar la raíz cuadrada de un polinomio, y para el dado en este problema terminamos con esto:

$x^8-8x^7+8x^6+40x^5-14x^4-232x^3+488x^2-568x+1=(x^4-4x^3-4x^2+4x+1)^2+(-192x^3+480x^2-576x)$

Si el resto fuera una constante multiplicada por un cuadrado, entonces podríamos representar nuestro polinomio óctico en la forma$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$o quizás$a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)$, obteniendo un par de factores cuárticos que luego serían resolubles por radicales de la forma habitual. Lamentablemente, no podemos hacer eso porque el resto es un polinomio cúbico. Sin embargo, el hecho de que los coeficientes de este resto tengan un factor común hace que uno diga "hmmm...". ¿Qué pasaría si hubiera una forma de modificar el resto para que tuviera un grado par y pudiera ser una cantidad cuadrada (o mejor aún, una constante multiplicada por uno)?

Empecé notando que la raíz cuadrada de$2358$determinado por el método estándar resulta como$48$con un resto de$54$. Pero, ¿realmente tenía que representar el "cociente" como$48$? Si permito un resto negativo en la etapa final, tal vez podría representar la raíz como$49$en cambio, en cuyo caso el resto es de hecho negativo y obtenemos una expresión igualmente válida que la primera que cité:

$2358=48^2+54$pero también

$2358=49^2-43.$

Incluso podríamos decir que la segunda forma es superior porque, con el resto absolutamente más pequeño, da el valor redondeado de$\sqrt{2358}$(correctamente) como$49$en lugar de$48$.

Ahora, ¿qué podemos hacer con nuestra raíz cuadrada polinomial? Digamos que, tal como representamos el último dígito de la raíz como$9$en lugar de$8$cuando sacamos la raíz cuadrada de$2358$, dejamos el término constante en nuestra expresión cuártica como algo distinto de$1$. Obtenemos

$x^8-8x^7+8x^6+40x^5-14x^4-232x^3+488x^2-568x+1=(x^4-4x^3-4x^2+4x+h)^2+[(-2h+2)x^4+(8h-200)x^3+(8h+472)x^2+(-8h-568)x+(-h^2+1)]$

¿Puede este resto ser una cantidad al cuadrado, tal vez multiplicada por una constante, para algún valor de$h$, presumiblemente racional?

Una condición necesaria para que esto ocurra en la expresión cuartica$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$es$a/e=(b/d)^2$. Aquí requerimos

$\dfrac{-2h+2}{-h^2+1}=\left(\dfrac{8h-200}{-8h-568}\right)^2$

$\dfrac{2}{h+1}=\left(\dfrac{h-25}{h+71}\right)^2$

Convertimos esto en una ecuación polinomial cúbica para$h$, buscar raíces racionales y descubrir$h=49$. Volvemos a decir "hmmm...", porque no solo dimos con una raíz racional sino que incrementamos$h$de su valor anterior ($1$) por la mitad del factor común de$96$vimos en el resto anterior.

insertamos$h=49$y obtener

$x^8-8x^7+8x^6+40x^5-14x^4-232x^3+488x^2-568x+1=(x^4-4x^3-4x^2+4x+49)^2-96[x^4-2x^3-9x^2+10x+25]$

Si la cantidad entre paréntesis fuera un cuadrado, sería$(x^2-x-5)^2$para hacer coincidir los términos de grado 4, grado 3, grado 1 y grado 0 (que nuestra ecuación para$h$fue diseñado para hacer). Pero, ¿obtenemos el término de grado 2 adecuado? De hecho:

$(x^2-x-5)^2=x^4-2x^3-9x^2+10x+25$

¡y hemos acertado con nuestro resto al cuadrado!

Así que ahora solo factorizamos el polinomio óctico como una diferencia de cuadrados cuyas raíces contienen$\sqrt{96}$o equivalente$\sqrt{6}$:

$x^8-8x^7+8x^6+40x^5-14x^4-232x^3+488x^2-568x+1=[(x^4-4x^3-4x^2+4x+49)+4\sqrt6(x^2-x-5)][(x^4-4x^3-4x^2+4x+49)-4\sqrt6(x^2-x-5)]$

y luego resolvemos cada factor cuártico por el método usual.

Las raíces, con todos los radicales definidos como números reales no negativos, son

$1+\sqrt2+\sqrt3+\sqrt[4]{3}$

$1-\sqrt2+\sqrt3+\sqrt[4]{3}$

$1+\sqrt2+\sqrt3-\sqrt[4]{3}$

$1-\sqrt2+\sqrt3-\sqrt[4]{3}$

$1+\sqrt2-\sqrt3\pm i\sqrt[4]{3}$

$1-\sqrt2-\sqrt3\pm i\sqrt[4]{3}$

Este conjunto de raíces se ajusta al$C_2×D_4$simetría del cálculo del grupo de Galois.

Solo para explicar por qué falló el intento de calcular en GAP. El mensaje de error fue producido por el paquete Alnuth GAP del cual depende RadiRoot, y Alnuth a su vez requiere PARI/GP . Si todo está instalado, el código en cuestión funcionó (también tenga en cuenta el orden correcto de los coeficientes):

gap> LoadPackage("radiroot");
true
gap> x := Indeterminate(Rationals,"x");;
gap> g := UnivariatePolynomial( Rationals, [1,-568,488,-232,-14,40,8,-8,1]);
x^8-8*x^7+8*x^6+40*x^5-14*x^4-232*x^3+488*x^2-568*x+1
gap> RootsOfPolynomialAsRadicals(g, "latex");
"/var/folders/dt/some_random_path/tempfilename.tex"

Escribió un archivo temporal y mostró su nombre. El archivo contiene todos los comandos necesarios para compilarlo con LaTeX, y solo muestro aquí la parte crucial de la salida (sin modificar el contenido, por lo que tiene algunos detalles redundantes) que dice lo siguiente:

Una expresión por radicales para las raíces del polinomio

$$x^{8} - 8x^{7} + 8x^{6} + 40x^{5} - 14x^{4} - 232x^{3} + 488x^{2} - 568x + 1$$ con el$n$-ésima raíz de la unidad$\zeta_n$y $$\omega_1 = \sqrt[2]{2},$$ $$\omega_2 = \sqrt[2]{3},$$ $$\omega_3 = \sqrt[2]{-\omega_2},$$ $$\omega_4 = \sqrt[2]{\omega_2},$$ es: $$1-\omega_1-\omega_2-\omega_3$$

Para otras fuentes de ayuda con GAP, especialmente con paquetes GAP específicos, consulte la descripción de la etiqueta GAP .

Un cálculo de Pari muestra que el discriminante del grado$8$campo numérico$F$generado por una raíz del polinomio$f=𝑥^8−8𝑥^7+8𝑥^6+40𝑥^5−14𝑥^4−232𝑥^3+488𝑥^2−568𝑥+1$es el producto de una potencia de$2$y un poder de$3$. Por lo tanto, cualquier subcampo cuadrático de$F$es de la forma${\bf Q}(\sqrt{\pm d})$con$d$un divisor de$6$. Un cálculo de Pari muestra que$f$factores en un producto de dos grados$4$factores irreducibles sobre${\bf Q}(\sqrt{2})$y más${\bf Q}(\sqrt{3})$. Esto implica que tenemos${\bf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\subset F$. Un cálculo final de Pari muestra que$f$es un producto de cuatro polinomios cuadráticos en${\bf Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})[X]$. Sus raíces son iguales a$1+\sqrt{2}+{\root 4 \of 3}(1+{\root 4 \of 3})$y sus conjugados.