Transformadas de Laplace y la entrada imaginaria

Cuando obtenemos una exponencial en el RHS de nuestra ecuación diferencial (o si le damos una entrada exponencial) es bastante fácil resolver la ecuación, pero si le damos una entrada sinusoidal o cosenoidal, el cálculo se vuelve horrendo. Así que buscamos un truco, damos una entrada exponencial compleja e imaginaria y resolvemos la ecuación diferencial como de costumbre asumiendo$A \, e^{i \omega t}$es la solución Y finalmente tomar la parte real para una entrada cosinusoidal y la parte imaginaria para una entrada sinusoidal (teorema de superposición). Lo único importante aquí es encontrar la amplitud compleja$A$, una vez que encontramos$A$podemos simplemente multiplicarlo con$e^{i\omega t}$tomar parte real y llegar a la solución. Aquí hay un buen truco, cuando observamos la respuesta en un circuito simple, digamos un circuito RC, estamos midiendo el voltaje a través del capacitor. El voltaje a través de la tapa es muy similar a un divisor de voltaje pero con un ligero cambio, en lugar de$R_2$tiene un$\frac {1}{i\omega C}$

Entonces, siempre que nos dan un circuito con capacitancias e inductancias, lo convertimos en un circuito abstracto, considerando solo las amplitudes complejas. Encuentre la amplitud requerida y multiplique$e^{i\omega t}$

Ahora, la transformada de Laplace de alguna manera realiza todos estos pequeños trucos en una pequeña integral. Pero no entiendo cómo, más bien no puedo relacionar estos dos procesos a pesar de que son lo mismo.