¿Cómo incluye la transformada de Laplace la respuesta transitoria?

Mis matemáticas de transformada de Laplace están bastante oxidadas, pero el buen truco detrás de una transformada de Laplace es que la forma de onda de prueba con la que la transformada compara su función de entrada cambia la amplitud con el tiempo.

Examine la transformada de Fourier:

$\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\ e^{-i \omega t}\,dx,$

Esencialmente, se necesita una onda sinusoidal de prueba ($e^{-i \omega }$) con frecuencia$\omega$y determina qué tan similar es esa onda sinusoidal a su función de entrada 1 . Determina esta similitud, o "correlación cruzada", al multiplicar esa onda sinusoidal con su función de entrada a lo largo de todo el tiempo e integra. Si hay poca similitud entre esta frecuencia$\omega$y su entrada, entonces esta integración será igual a cero.

Como ha observado, esta señal de prueba nunca cambia de amplitud y solo puede usarse para examinar el comportamiento de estado estable de su entrada.

Ahora compare con la transformada de Laplace:

$F(s) =\int_0^\infty f(t)e^{-st} \, dt$

Muy similar, excepto ahora.$s$es complejo y reemplaza lo real (no complejo)$\omega$. Además, la integración ahora no es para siempre, sino solo el futuro.

Lo bueno de elevar a una potencia compleja$s$es que hay un componente tanto real como imaginario, de modo que si$s= a + i b$, entonces$e^{-st} = e^{-at}e^{-ibt}$. Así que ahora tenemos una onda sinusoidal que crece exponencialmente, se reduce exponencialmente o mantiene una amplitud constante dependiendo del valor de$a$.

Esta señal de prueba que puede cambiar con el tiempo, más el hecho de que la integración ahora solo comienza en el tiempo 0 significa que ahora podemos extraer la respuesta transitoria de la señal de entrada.

$a$y$b$juntos determinan un punto en el plano complejo (conocido aquí como el plano s), mientras que$\omega$siempre estará en la línea real. Este es el grado adicional de libertad que mencionó @hotpaw2. Este punto define la señal de prueba utilizada por la transformada de Laplace, y puede ver los efectos de mover el punto alrededor del plano s complejo en esta imagen:

Los diagramas que representan la descomposición en series de Fourier de una señal son comunes (como el que se muestra aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series#/media/File:Fourier_series_and_transform.gif )

Menos comunes son los diagramas que muestran una descomposición por transformada de Laplace, pero encontré este ejemplo analizando un circuito RLC:

En el gráfico superior izquierdo, puede ver la corriente del inductor a lo largo del tiempo, con un gran transitorio decreciente de 0 a 5 segundos. En el gráfico inferior izquierdo, puede ver el final del comportamiento transitorio inicial y el estado estable final (¡observe el gran cambio en la escala del gráfico!).

Y la correspondiente descomposición de Laplace:

Aquí puede ver que la respuesta total en el primer gráfico es la suma de los dos términos trazados aquí, y que el impacto del transitorio inicial se reduce a cero con el tiempo.

Consulte esta página para obtener mucha más información:

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Formal_definition

1 : En realidad,$e^{-i \omega } = \cos x + i \sin x$, por lo que en realidad está usando una onda coseno y una sinusoidal simultáneamente (un punto complejo giratorio) como función de prueba. Así es como la transformada de Fourier obtiene información de fase. Esa es también la razón por la que la imagen de arriba muestra espirales rizadas en 3D, ya que la transformada de Laplace también tiene un punto complejo giratorio. Pero es más fácil pensar en ello como una sola onda sinusoidal.

Fuentes de imágenes: https://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Comparing_Analog_Digital_Complex.html https://www.mathworks.com/help/symbolic/solve-differential-equations-using-laplace-transform.html

Cuando toma una transformación integral, está proyectando la función de interés a un sistema de coordenadas diferente que aún conserva todas las propiedades de la función original. Piense en cómo puede escribir un vector en un sistema de coordenadas tanto rectangular como polar, sin dejar de ser el mismo vector. Esto es lo que está haciendo con las transformaciones integrales, pero, en lugar de ir al espacio polar bidimensional, está proyectando en un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Entonces, en lugar de tener$x$,$y$etc., tienes infinitas bases de la forma$e^{j\omega}$.

Para comprender lo que está sucediendo, considere una proyección vectorial simple. Así es como obtienes las componentes de un mismo vector en un sistema de coordenadas diferente.

fuente

Para obtener la componente del vector$\mathbf{a}$en el$\mathbf{b}$dirección simplemente toma el producto punto

con el vector unitario$\mathbf{c}$, Paralelo a$\mathbf{b}$. Si el vector$\mathbf{c}$es complejo, el producto escalar es con su complejo conjugado. Por eso

Cuando estás proyectando una función, tienes una cantidad infinita de componentes.$a(t)$. Con una transformada integral, como la transformada de Fourier, tienes infinitas bases$e^{j\omega}$. Cada base tiene un componente.$e^{j\omega t}$. Así la suma sobre$i$se convierte en la integral sobre$t$

Entonces, cuando toma una transformación integral, se queda con la misma función pero en un sistema de coordenadas diferente. Como es la misma función, contiene la respuesta transitoria en ambos sistemas de coordenadas.

El análisis de Fourier de estado estacionario es útil si tiene una sola sinusoide pura de frecuencia única infinitamente larga. Puede calcular fácilmente la respuesta de un sistema LTI a esta sinusoide infinitamente larga porque se asigna a un solo punto en el dominio de Fourier.

El problema es que en el mundo real, las señales tienen una longitud finita (una envolvente), que se asigna a un lote infinito (integral) de frecuencias en el dominio de Fourier. Y calcular la respuesta a un lote infinito de frecuencias podría requerir una cantidad infinita de cálculos, lo que podría llevar mucho tiempo.

La transformada de Laplace agrega otro grado de libertad al incluir el tiempo en su núcleo integral. Por lo tanto, puede representar un lote infinito de frecuencias en un solo punto complejo (o 2D), lo que permite calcular una respuesta del sistema a estos lotes infinitos de sinusoides infinitas con menos de una cantidad infinita de pizarra. Las señales transitorias se pueden descomponer en lotes de estos lotes infinitos.

Así que considérelo (transformada de Laplace) como un truco matemático para hacer una cantidad infinita de análisis de estado estacionario de frecuencia única (transformada de Fourier) en tiempo finito (y pizarra), agregando otro grado de libertad.

Agregado: tenga en cuenta que la transformada de Fourier de un exponencial en descomposición es infinitamente larga. Infinito en el espacio de Fourier, pero un solo punto (complejo) en el espacio de Laplace.