Cálculo de impedancia a partir de formas de onda (exponenciales) de tensión y corriente

Question

Cálculo de impedancia a partir de formas de onda (exponenciales) de tensión y corriente

fourier
Física
impedancia
Impedancia de entrada
análisis de circuitos
Transformada de Laplace

pojj

Si queremos encontrar la impedancia entre dos terminales (un puerto) a una frecuencia $\omega_0$ usando la forma de onda de voltaje a través $v(t)$ ) y corriente a través de ( $i(t)$ ) el terminal, la intuición general es usar la transformada discreta de Fourier para las formas de onda de voltaje y corriente y tomar la relación

Z (ω) |_{ω = ω_{0}} = \frac{V (ω)}{I (ω)} |_{ω = ω_{0}} .

$Z(\omega)|_{\omega=\omega_0}=\frac{V(\omega)}{I(\omega)}|_{\omega=\omega_0}.$ Según tengo entendido, la respuesta no debería depender de la forma de la onda siempre que haya una

ω_{0}

$\omega_0$ componente de frecuencia en las formas de onda. - Por favor, corríjame si me falta algún punto aquí. Pero esto no parece ser cierto cuando las formas de onda tienen un componente de frecuencia imaginario (que crece/decae en el tiempo).

Ejemplo:

Por ejemplo, tomemos $i(t)=I_0 \sin(\omega_0t)e^{\alpha t}$ y supongamos que tenemos un inductor ideal $L$ para medir la impedancia (de hecho, se elige un inductor ideal para explicar mi pregunta). Ahora tenemos,

v (t) = L \frac{d i (t)}{d t} = L I_{0} {mi}^{α t} (α pecado (ω_{0} t) + ω_{0} porque (ω_{0} t)),

$v(t)=L{di(t) \over dt}=L I_0 e^{\alpha t} \left(\alpha \sin ( \omega_0 t)+ \omega_0 \cos ( \omega_0 t)\right),$ y las transformadas de Fourier ,

I (ω) = - i \sqrt{\frac{π}{2}} I_{0} (d (i α - ω + ω_{0}) - d (- i α + ω + ω_{0}))

$I(\omega)=-i\sqrt{\frac{\pi }{2}} I_0\big( \delta (i \alpha -\omega +\omega_0)- \delta (-i \alpha +\omega +\omega_0)\big)$

V (ω) = \sqrt{\frac{π}{2}} I_{0} L (i α d (i α - ω + ω_{0}) + ω_{0} d (i α - ω + ω_{0}) - i α d (- i α + ω + ω_{0}) + ω_{0} d (- i α + ω + ω_{0}))

$V(\omega)= \sqrt{\frac{\pi }{2}} I_0 L\big(i \alpha \delta (i \alpha -\omega +\omega_0)+ \omega_0 \delta (i \alpha -\omega +\omega_0)-i \alpha \delta (-i \alpha +\omega +\omega_0)+ \omega_0 \delta (-i \alpha +\omega +\omega_0)\big)$

Obviamente, no podemos encontrar $V(\omega)/I(\omega)$ en $\omega =\omega_0$ pero si ponemos $\omega =\omega_0+i \alpha$ , y consideremos la transformada de Fourier unilateral, tenemos

\frac{V (ω)}{I (ω)} |_{ω = ω_{0} + i α} = (i ω_{0} + α) L

$\frac{V(\omega)}{I(\omega)}|_{\omega=\omega_0+i \alpha}=(i\omega_0+ \alpha)L$

Esto es, de hecho, equivalente a la impedancia de un inductor cuando $\omega =\omega_0+i \alpha$ . Pero aquí, estoy interesado en encontrar la impedancia en $\omega_0$ .

Si usamos la transformada de Laplace , obtendremos $V(s)/I(s)=s L$ , y entonces podemos simplemente poner $s=j\omega_0$ para obtener la impedancia entre los terminales (inductor en el ejemplo). Sin embargo, que yo sepa, no podemos usar la transformada de Laplace para el conjunto discreto de números (es decir, señales de voltaje y corriente en el dominio del tiempo).

Incluso si usamos la transformada z (que se dice que es más como la transformada discreta de Laplace), todavía terminaremos con $V(z)/I(z)=(i\omega_0+ \alpha)L$

Mis preguntas

¿Cuál es el significado físico de la parte real? $(\alpha L)$ observado en la transformada de Fourier en este ejemplo?
¿Cómo podemos obtener la impedancia equivalente a través de un puerto usando formas de onda de voltaje y corriente cuando las formas de onda están creciendo (o decayendo) exponencialmente?

ruidos fuertes

No puede usar la transformada de Laplace para calcular una respuesta en el dominio del tiempo, lo que requiere discretización. Absolutamente puede usar la representación de la transformada de Laplace para encontrar la impedancia a una frecuencia dada.

Desconocido123

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pojj

Gracias, @loudnoises, esa es exactamente mi pregunta. Lo que tengo son señales de voltaje y corriente, por lo que no puedo usar la transformada de Laplace directamente. Estoy tratando de usar el ajuste de curvas para encontrar una buena función de ajuste y luego usar la transformada de Laplace, pero no será muy preciso. La pregunta aquí es cómo encontrar la impedancia equivalente directamente de la forma de onda.

ruidos fuertes

¿Hay alguna razón en particular por la que esté utilizando formas de onda exponenciales? Tal vez deberías investigar cómo funciona un medidor LCR.

pojj

sí, estoy interesado en la señal exponencial ya que estoy estudiando un circuito con una bomba de energía activa y, en particular, estoy interesado en comprender la física detrás del resultado que obtengo usando la transformada de Fourier. Los medidores LCR deben usar señales repetitivas estándar donde la transformada de Fourier funciona bien.

Sr. Snrub

Como solo te interesa una sola frecuencia, esta es una aplicación ideal para el algoritmo de Goertzel . Pero, para sus propósitos, el Goertzel no es mejor ni peor que el DFT, es solo una forma más eficiente desde el punto de vista computacional de obtener la misma respuesta que el DFT. Diría que su pregunta "real" es cuál es el significado real de

Z (ω) |_{ω = ω_{0}}

$Z(\omega)|_{\omega=\omega_0}$ , especialmente porque su forma de onda de estímulo tiene una estructura de frecuencia decididamente más compleja.

pojj

Gracias por el comentario @Mr.Snrub. Sí, en cierto modo, también quiero ver cómo calcular la impedancia usando formas de onda crecientes/decrecientes (o saber si es posible).

Respuestas (1)

Cálculo de impedancia a partir de formas de onda (exponenciales) de tensión y corriente

No puede usar la transformada de Laplace para calcular una respuesta en el dominio del tiempo, lo que requiere discretización. Absolutamente puede usar la representación de la transformada de Laplace para encontrar la impedancia a una frecuencia dada.
Gracias, @loudnoises, esa es exactamente mi pregunta. Lo que tengo son señales de voltaje y corriente, por lo que no puedo usar la transformada de Laplace directamente. Estoy tratando de usar el ajuste de curvas para encontrar una buena función de ajuste y luego usar la transformada de Laplace, pero no será muy preciso. La pregunta aquí es cómo encontrar la impedancia equivalente directamente de la forma de onda.
¿Hay alguna razón en particular por la que esté utilizando formas de onda exponenciales? Tal vez deberías investigar cómo funciona un medidor LCR.
sí, estoy interesado en la señal exponencial ya que estoy estudiando un circuito con una bomba de energía activa y, en particular, estoy interesado en comprender la física detrás del resultado que obtengo usando la transformada de Fourier. Los medidores LCR deben usar señales repetitivas estándar donde la transformada de Fourier funciona bien.
Como solo te interesa una sola frecuencia, esta es una aplicación ideal para el algoritmo de Goertzel . Pero, para sus propósitos, el Goertzel no es mejor ni peor que el DFT, es solo una forma más eficiente desde el punto de vista computacional de obtener la misma respuesta que el DFT. Diría que su pregunta "real" es cuál es el significado real de $Z(\omega)|_{\omega=\omega_0}$ , especialmente porque su forma de onda de estímulo tiene una estructura de frecuencia decididamente más compleja.
Gracias por el comentario @Mr.Snrub. Sí, en cierto modo, también quiero ver cómo calcular la impedancia usando formas de onda crecientes/decrecientes (o saber si es posible).

Dirceu Rodrigues Jr. · Answer 1

Mi solución está de acuerdo con el resultado esperado:

De TRANSFORMADAS DE FOURIER:

F {{mi}^{- a t} pecado (ω_{0} t) tu (t)} = \frac{ω_{0}}{(a + j ω)^{2} + ω_{0}^{2}}

$\mathcal{F} \{ e^{-at}\sin(\omega_0t)u(t)\} = \frac{\omega_0}{(a+j\omega)^2+\omega_0^2}$

F {{mi}^{- a t} porque (ω_{0} t) tu (t)} = \frac{a + j ω}{(a + j ω)^{2} + ω_{0}^{2}}

$\mathcal{F} \{ e^{-at}\cos(\omega_0t)u(t)\} = \frac{a+j\omega}{(a+j\omega)^2+\omega_0^2}$

y la corriente del inductor como:

i (t) = I_{0} {mi}^{α t} pecado (ω_{0} t) tu (t)

$i(t) = I_0e^{\alpha t}\sin(\omega_0t)u(t)$

En el dominio de la frecuencia:

I (ω) = \frac{I_{o} ω_{0}}{(- α + j ω)^{2} + ω_{0}^{2}}

$\boxed{I(\omega)= \frac{I_o\omega_0}{(-\alpha+j\omega)^2+\omega_0^2}}$

Entonces el voltaje del inductor es:

v (t) = L \frac{d i (t)}{d t}

$v(t) = L\frac{\mathrm{d}i(t) }{\mathrm{d}t }$

o

v (t) = L I_{0} [α {mi}^{α t} pecado (ω_{0} t) + ω_{0} {mi}^{α t} porque (ω_{0} t)] tu (t)

$v(t)=LI_0 \left[\alpha e^{\alpha t}\sin(\omega_0t)+ \omega_0e^{\alpha t} \cos(\omega_0t) \right ]u(t)$

Del mismo modo, en el dominio de la frecuencia:

V (ω) = L I_{0} [\frac{α ω_{0}}{(- α + j ω)^{2} + ω_{0}^{2}} + \frac{ω_{0} (- α + j ω)}{(- α + j ω)^{2} + ω_{0}^{2}}]

$V(\omega)=LI_0 \left [ \frac{\alpha\omega_0}{(-\alpha+j\omega)^2+\omega_0^2} + \frac{\omega_0(-\alpha+j\omega)}{(-\alpha+j\omega)^2+\omega_0^2} \right ]$

o

V (ω) = L I_{0} ω_{0} [\frac{j ω}{(- α + j ω)^{2} + ω_{0}^{2}}]

$\boxed{V(\omega)=LI_0\omega_0 \left [ \frac{j\omega}{(-\alpha+j\omega)^2+\omega_0^2} \right ] }$

la impedancia es:

Z (ω) = \frac{V (w)}{I (ω)}

$Z(\omega)=\frac{V(w)}{I(\omega)}$

o

Z (ω) = j ω L

$\boxed{Z(\omega)= j\omega L}$

A partir de TRANSFORMADAS DE LAPLACE se puede obtener el mismo resultado:

I (s) = \frac{I_{0} ω_{0}}{(- α + s)^{2} + ω_{0}^{2}}

$I(s) = \frac{I_0 \omega_0}{(-\alpha + s)^2+ \omega_0^2}$

y

V (s) = L I_{0} ω_{0} \frac{s}{(- α + s)^{2} + ω_{0}^{2}}

$V(s)= LI_0\omega_0 \frac{s}{(-\alpha + s)^2+ \omega_0^2}$

la impedancia es:

Z (s) = \frac{V (s)}{I (s)} = s L

$Z(s)=\frac{V(s)}{I(s)} = sL$

haciendo $s = j\omega$

Z (j ω) = j ω L

$Z(j\omega)= j\omega L$

EDITAR:

El objetivo principal de mi respuesta fue señalar un error en el cálculo de una transformada de Fourier particular presente en cuestión. Aunque el OP no aclara explícitamente el hecho de que la INDUCTANCIA ES DESCONOCIDA , me parece que es más importante determinar la INDUCTANCIA que la IMPEDANCIA del inductor a partir de las mediciones en el tiempo.

Obsérvese que, en este caso, el OP se encontrará ante un procedimiento de identificación de sistema lineal (ya que en la práctica será un circuito RL en serie debido a la DCR de la bobina). Hay muchas técnicas que ya utilizan los medidores LCR. Por otro lado, parece que la intención de OP es hacer un trabajo innovador utilizando exponenciales crecientes. Un problema Me doy cuenta de que, en la pregunta, sería difícil generar una CORRIENTE sinusoidal que crezca exponencialmente. Tal vez se podría aplicar un VOLTAJE con una forma similar en el circuito RL. La medición en el tiempo sugiere una forma más fácil de ajuste de curvas (esperado versus medido) para determinar los parámetros L y R.

Además, la expresión para $V(\omega)$ También se puede obtener directamente de $I(\omega )$ a través de la propiedad de diferenciación de la Transformada de Fourier: $\frac{df(t)}{dt} \Rightarrow j\omega F(\omega )$ .
...lo que demostraría matemáticamente que la forma de onda de entrada no importa, porque $Z( \omega ) = {V( \omega ) \over I ( \omega ) } = { L \cdot j \omega I(\omega) \over I(\omega)} = j \omega L$ . ¡Muy genial!
Estoy de acuerdo, ya que la impedancia en un sentido más amplio es $Z(s)=\frac{V(s)}{I(s)}$ y Laplace Transform acepta señales que no son "absolutamente integrables" (que no decaen en el tiempo, como paso y rampa, por ejemplo). Por otro lado, esta "condición de Dirichlet" es necesaria para la transformada de Fourier (la descomposición exponencial está bien).
Por ejemplo: si $i(t)=I_ou(t)$ (paso de corriente en un inductor), entonces $I(s) = \frac{I_0}{s}$ . Entonces, $v(t) = L\frac{\mathrm{d}i(t) }{\mathrm{d} t}=LI_0\delta (t)$ (un impulso de tensión) y $V(s)=LI_0$ . Finalmente, $Z(s)=\frac{V(s)}{I(s)}=sL$ . Pruebe usted mismo con un nuevo ejemplo donde $i(t)=I_0t u(t)$ (una rampa actual)... o, alternativamente, aquí también podría usarse la propiedad $\frac{\mathrm{d}f(t) }{\mathrm{d} t} \Rightarrow sF(s)$ .
Interesante, aquí me perdí tomar la función de entrada de un solo lado $u(t)$ (Usé directamente Mathematica para encontrar la transformada de Fourier). Creo que ahí es donde me perdí. Por cierto, ¿podemos aplicar la Transformada de Fourier si la forma de onda está creciendo (es decir, $a<0$ en tu respuesta)
Como dije, para la transformada de Fourier $F(\omega)$ existir, $f(t)$ debe ser absolutamente integrable (condición de Dirichlet). Esto se satisface sólo para $a>0$ (o $\alpha < 0$ ). En la respuesta, he colocado un signo negativo delante de $\alpha$ para ser coherente con los símbolos utilizados en su pregunta.
¡Gracias! Entonces mi pregunta original sobre la impedancia sigue abierta. es decir, (¿Cómo) podemos calcular la impedancia (verdadera) analizando el crecimiento exponencial ( $\alpha >0$ ) formas de onda de voltaje y corriente?
Creo que respondí tu pregunta. Para señales crecientes, considere la segunda parte de mi respuesta (Transformada de Laplace) anterior. en este caso $\alpha$ puede ser positivo Como se mostró allí, al final hacer $s = j\omega$ .
@DirceuRodriguesJr, De alguna manera me perdí tu edición final. Sí, utilicé el ajuste de curvas para resolver m problema. Solo para aclarar, utilicé un inductor para explicar que el circuito problemático que tenía era una combinación de red LC. Por eso me interesó la impedancia.

Cálculo de impedancia a partir de formas de onda (exponenciales) de tensión y corriente

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Desconocido123

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Sr. Snrub

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Dirceu Rodrigues Jr.

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Dirceu Rodrigues Jr.

Dirceu Rodrigues Jr.

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