Comprender por qué usar transformadas de Laplace para circuitos

La intuición detrás de esto es que$s$es una "frecuencia compleja".$s$no se cambia a$j\omega$. Bastante,$s$es un número complejo que se puede descomponer en sus partes real e imaginaria que se llaman sigma y omega:$s = \sigma + j\omega$. En todo momento, dondequiera que veas$s$puedes sustituir$\sigma + j\omega$!

Que pasa cuando$s$aparentemente está siendo reemplazado por$j\omega$es que estamos tomando en consideración solo una porción particular del dominio de$s$: el eje imaginario (positivo). no estamos cambiando$s$, pero solo dejando caer la parte real$\sigma$(o más bien ponerlo a cero) y retener el componente$j\omega$.

Esto se debe a que el eje imaginario positivo en el espacio de frecuencia complejo de$s$es donde se encuentran las frecuencias ordinarias.

Entonces, por ejemplo, si tenemos una función de transferencia en términos de$s$, entonces si observamos la rebanada de esa función a lo largo del eje imaginario, que es generada por$j\omega$para varios valores de parámetro$\omega$, entonces estamos viendo el dominio de la frecuencia de esa función de transferencia: ¡la transformada de Fourier!

La transformada de Laplace es una generalización de la transformada de Fourier. La transformada de Fourier termina incrustada en el dominio de Laplace a lo largo del eje imaginario. Es de valor complejo, pero su dominio es unidimensional. La transformada de Fourier maneja funciones invariantes en el tiempo (periódicas), pero Laplace generaliza a funciones que incorporan crecimiento o decaimiento exponencial. Fourier trabaja con señales de la forma$e^{jwt}$, mientras que Laplace se ocupa de$e^{st}$, dónde$s = \sigma + j\omega$. Esto cubre crecimientos/descensos exponenciales, así como oscilaciones crecientes o decrecientes que no son periódicas.

cuando nos ponemos$\sigma$a cero, manteniendo$j\omega$, estamos haciendo un viaje por la transformada de Fourier porque, por ejemplo, estamos interesados ​​en cómo una función de transferencia trata las señales invariantes en el tiempo que están bien representadas en esa transformada; es decir, cuál es la respuesta de frecuencia/fase.

Aquí hay algunas notas de clase sobre interpretaciones cualitativas de las transformadas de Laplace.

Para el dominio del análisis de circuitos, el uso de transformadas de Laplace nos permite resolver las ecuaciones diferenciales que representan estos circuitos mediante la aplicación de reglas simples y procesos algebraicos en lugar de técnicas matemáticas más complejas. También da una idea del comportamiento del circuito.

Hay muchas transformaciones diferentes posibles y el análisis del dominio s es útil y quizás más fácil de enseñar que otras técnicas a menudo antes de que se adopte el uso completo del análisis complejo. No lo hace menos poderoso o útil, simplemente se adapta bien al problema en cuestión. A menudo, las transformadas de Laplace se enseñan incluso antes de que las ecuaciones diferenciales se adopten por completo, por lo que es un enfoque complementario.