Transformada de Fourier en un Ferromagnet semi-infinito

Tengo una pregunta (¿simple?) sobre las transformadas de Fourier.

Considere un hamiltoniano 1D de la forma

H = − j S ∑ j = 1 norte − 1 a j + 1 † a j + a j † a j + 1 − a j + 1 † a j + 1 − a j † a j
dónde j es un acoplamiento entre dos vecinos más cercanos, y S es la proyección de giro a lo largo de algún eje z, es decir, una cadena ferromagnética estándar con norte sitios de celosía y espaciado de celosía d .

Para diagonalizar esto, normalmente se introducen los operadores de creación/aniquilación transformados de Fourier.

a j = 1 norte ∑ k mi i k j d a k .
Esto está bien siempre que supongamos condiciones de contorno periódicas tales que a j + norte = a j .

Ahora considere el caso cuando dejamos norte → ∞ . En este caso, ya no tiene sentido utilizar condiciones de contorno periódicas. Entonces, ¿cómo definimos una transformada de Fourier para diagonalizar tal problema?

¿Es tan simple como escribir?

a j = ∫ d k mi i k j d a k
?

Respuestas (1)

"Ahora considere el caso cuando hacemos que N→∞. En este caso, ya no tiene sentido usar condiciones de contorno periódicas".

¿Por qué no tiene sentido? Quiero decir, desde un punto de vista físico, tomando esto, simplemente asume que la cantidad de sitios de celosía es bastante grande, es decir, toma el límite continuo (el infinito matemático no es aceptable y digamos que no es práctico para la física). Entonces, ¿por qué no puede imponer las mismas condiciones de contorno para resolver su problema para N grande?

Y la transformación de Fourier se convierte exactamente en lo que has escrito.

Derecha OK. Déjame hacer las cosas más interesantes. Considera que en j = 1 hay algún límite. Por ejemplo, un metal normal que obedece a un hamiltoniano de unión estrecha. No estamos interesados ​​en los puntos de celosía. j < 1 , solo lo presenté de tal manera que no podemos "hacer trampa" y usar condiciones de contorno periódicas. ¿Sabes si aún podemos diagonalizar el hamiltoniano para j ≥ 1 por algún ansatz similar a una transformada de Fourier? Estaba pensando en usar el ansatz A k † = ∑ a = 1 norte α a k a † a en el caso finito, pero no estoy seguro de cómo lidiar con el caso infinito.
Mi comentario anterior era demasiado largo, pero estaba pensando en dejar
α a k = r k mi i π k a / norte + yo k mi − i π k a / norte .
Como ves uno se mete en problemas si dejamos norte acercarse al infinito.
No puede usar transformadas de Fourier en este caso. Debe tener invariancia de traducción para usarlo, y es por eso que imponemos condiciones límite periódicas. Al considerar un límite, debe tener en cuenta los efectos de la superficie y creo que todo el análisis cambia drásticamente. Espero haber ayudado.
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